第 1 章　最小电路基础

本章建立整本书共同使用的“电路语言”。目标不是背公式，而是让每个结论都能沿着同一条链说清楚：假设 → 模型 → 变量与参考方向 → 基本方程 → 求解 → 量纲检查 → 极限检查 → 失效条件。

冲刺必会

先学带 P0 标记的内容，并出声完成每段“30 秒回答”。本章的最低过关线是：会定参考方向、会列 KCL/KVL、会用节点法、会求戴维南等效、会判断一阶 RC 暂态。

面试加分

面试时不要只报公式。先说模型和参考方向，再给方程，最后主动补一句适用边界。

考后深入

本章暂不处理分布参数传输线、强电磁耦合、非线性器件的大信号网络和随机噪声；这些内容都建立在本章语言之上。

第一次阅读：只走主线

每个 P0 小节先读“直觉/电路图/例题”，再完成“30 秒回答”和紧跟的小练习。遇到标题含“第二遍”的证明、边界和 90 秒展开，第一次可以直接跳过。你的第一遍目标不是记住所有例外，而是能在图上定方向、列出第一条方程并独立算完一个基本例题。

1. 章节地图、目标与路线

前置知识只有高中代数：一元一次方程、指数函数、导数与定积分的直观含义。微分方程会在 RC 小节从头解出，不要求预先学过。

flowchart TD
    A["电荷与能量"] --> B["电流、电压、功率"]
    B --> C["电阻、电容、独立源"]
    C --> D["KCL / KVL"]
    D --> E["串并联、分压分流、节点法"]
    E --> F["叠加、戴维南 / 诺顿"]
    F --> G["一阶 RC 暂态"]

图 1-1　知识依赖图。 箭头表示“后者用到前者”，不是电流方向。

学完后，你应当能够：

1. 区分电荷、电流、电压、能量和功率，并按关联参考方向判断元件吸收还是发出功率；
2. 从元件模型写出电阻、电容、独立源和受控源的端口方程，解释理想模型的矛盾边界；
3. 从电荷守恒说明基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's Current Law，KCL），从能量守恒和法拉第定律边界说明基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's Voltage Law，KVL）；
4. 从 KCL/KVL 推出串并联、分压、分流和节点电压法；
5. 对线性一端口求戴维南、诺顿等效，并区分最大功率与最高效率；
6. 从 KCL 解出一阶 RC 阶跃响应，并用初值、终值和时间常数检查答案。

路线	阅读范围	建议动作
第一遍	所有 P0、例题、30 秒回答，以及 C-01～C-12 中标为 P0 的题	4～5 小时，分 2～3 次完成
完整掌握	90 秒回答、证明、边界、能量说明和全部追问	合计约 8～10 小时；以独立重算和口述通过为准

2. P0：电荷、电流、电压、功率与参考方向

本节先完成三件事

看到一张二端元件图时，先说清电压是哪一点减哪一点，再说电流箭头朝哪里，最后判断 \(p=vi\) 的正负。先做到这三步，再阅读后面的物理边界。

2.1 定义与直觉

电荷量记为 \(q\)，单位是库仑（C）。约定正电荷运动方向为传统电流方向；金属中电子实际漂移方向与它相反。

某截面在时间 \(t\) 附近通过的电荷变化率定义为电流：

\[ i(t)=\frac{\mathrm dq(t)}{\mathrm dt}. \]

其中 \(i\) 是电流，单位安培（A）；\(t\) 是时间，单位秒（s）。因此 \(1\ \mathrm A=1\ \mathrm{C/s}\)。若算得 \(i<0\)，不是“负电流不存在”，而是实际方向与预先画的参考箭头相反。

把单位正电荷从端点 \(b\) 移到端点 \(a\) 所需的能量变化定义为电压：

\[ v_{ab}=V_a-V_b=\frac{\mathrm dw}{\mathrm dq}. \]

其中 \(v_{ab}\) 是 \(a\) 相对 \(b\) 的电压，\(V_a,V_b\) 是两点电势，\(w\) 是能量，单位焦耳（J）；电压单位伏特（V），所以 \(1\ \mathrm V=1\ \mathrm{J/C}\)。

本章默认集总、准静态电路模型。“集总”是把电阻、储能等作用集中到尺寸可忽略的元件中，并忽略连接线传播延迟；“准静态”是信号变化相对电磁传播足够慢，使同一理想节点在所考察时刻可赋予一个电势。在这个模型内，电压总是两点之差；单说“某点电压”时，默认它相对于已选参考地。超出这个模型后，电场可能与路径有关，不能无条件沿用这句话。

水流类比只在两个地方有用：流量可帮助记忆“电流是单位时间通过量”，高度差可帮助记忆“电压是两点差”。它不能当作物理证明：导线里的电磁场传播、电子漂移、位移电流（变化电场在电流连续性中对应的电流项）、感应电动势和量子器件都不等同于水管现象。因此本章所有结论都从守恒律与元件模型出发。

2.2 关联参考方向与功率

对任意二端元件，先标电压正、负端，再让参考电流从电压“+”端流入，这叫关联参考方向（也称被动符号约定）：

图 1-2　读图顺序：先选电压极性，再选电流参考方向，最后让 \(p=vi\) 的符号说明能量方向；负值不是“算错”，而是实际方向与参考方向相反。

在短时间 \(\mathrm dt\) 内，流入元件的电荷为 \(\mathrm dq=i\,\mathrm dt\)，每单位电荷带来的能量为 \(v=\mathrm dw/\mathrm dq\)，所以

\[ \mathrm dw=v\,\mathrm dq=vi\,\mathrm dt, \qquad p=\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}=vi. \]

其中 \(p\) 是瞬时功率，单位瓦特（W）。在关联参考方向下：

• \(p>0\)：元件吸收能量；
• \(p<0\)：元件向外发出能量。

本章常用国际单位制前缀：千（\(\mathrm k\)）表示 \(10^3\)，毫（\(\mathrm m\)）表示 \(10^{-3}\)，微（\(\mu\)）表示 \(10^{-6}\)；例如 \(1\ \mathrm{k\Omega}=10^3\ \Omega\)。

例：某电阻按图 1-2 定义 \(v=5\ \mathrm V,\ i=2\ \mathrm A\)，则 \(p=10\ \mathrm W\)，电阻吸收 \(10\ \mathrm W\)。若一个电源仍按关联参考方向标注 \(v=5\ \mathrm V\)，但算得 \(i=-2\ \mathrm A\)，则 \(p=-10\ \mathrm W\)，表示电源发出 \(10\ \mathrm W\)。

2.3 证明链、量纲与极限检查

• 假设： 电路可用集总端口量描述，\(q(t)\) 和 \(w(t)\) 在所考察时刻可微。
• 模型： 一个二端元件，采用图 1-2 的关联参考方向。
• 变量与参考方向： \(i\) 流入“+”端，\(v=V_+-V_-\)。
• 基本方程： \(i=\mathrm dq/\mathrm dt,\ v=\mathrm dw/\mathrm dq\)。
• 求解： 链式相乘得 \(p=\mathrm dw/\mathrm dt=vi\)。
• 量纲检查： \(1\ \mathrm W=1\ \mathrm{V\cdot A}=1\ \mathrm{J/s}\)；另有 \(1\ \Omega=1\ \mathrm{V/A}\)，其中 \(\Omega\) 是欧姆。
• 极限检查： \(v=0\) 或 \(i=0\) 时 \(p=0\)；保持 \(v\) 不变而反转实际电流，\(p\) 的符号反转。
• 失效条件： 若端口不能用唯一的瞬时 \(v,i\) 表示，或系统需要分布电磁场模型，仅靠 \(p=vi\) 不能描述全部空间能流；应使用电磁场功率流。

第二遍：适用边界

这里讨论的是集总电路端口的瞬时功率。正负号依赖于参考方向，不能脱离图判断“正功率一定是电源功率”。周期信号的平均功率还需对 \(p(t)\) 做时间平均。

30 秒回答

“电流是电荷通过率 \(i=\mathrm dq/\mathrm dt\)，电压是单位电荷的能量差 \(v=\mathrm dw/\mathrm dq\)。若电流参考方向流入电压正端，就采用关联参考方向，此时 \(p=vi\)：正值表示吸收功率，负值表示发出功率。负的电流或功率只说明实际方向与参考定义相反。”

第二遍：90 秒回答

“分析电路前我先定义参考方向。电压 \(v_{ab}=V_a-V_b\)，电流箭头可以任意假设；若让电流流入电压正端，就有 \(p=vi\)。这个式子来自 \(\mathrm dw=v\,\mathrm dq\) 和 \(\mathrm dq=i\,\mathrm dt\)，因此量纲是 \(\mathrm{V\cdot A=J/s=W}\)。例如 \(v=5\ \mathrm V,i=2\ \mathrm A\) 时元件吸收 \(10\ \mathrm W\)；同样的电压若 \(i=-2\ \mathrm A\)，它发出 \(10\ \mathrm W\)。参考箭头不是对实际方向的猜测，算出负值正是在告诉我实际方向相反。水流类比可帮助理解“通过率”和“两点差”，但不能解释感应电动势或电磁能流，所以不会用它代替守恒律。”

本节练习与递进追问

1. 一个元件按关联参考方向有 \(v=-3\ \mathrm V,\ i=2\ \mathrm A\)。它吸收还是发出功率？先只根据符号作答，再画出实际极性。
2. 追问：若把电压极性和电流箭头同时反转，\(p=vi\) 的数值是否改变？若只反转一个呢？

3. P0：电阻、电容、独立源与受控源模型

本节先完成三件事

分清“元件规定什么”：电阻把同一时刻的 \(v,i\) 联系起来；电容把电流与电压变化率联系起来；独立源自行规定电压或电流；受控源的输出由电路中另一个电压或电流决定。第一次阅读要能识别圆形与菱形源，并写出图 1-5 的四类控制关系。

3.1 电阻：把电压与电流联系起来

理想线性电阻的电阻值记为 \(R\)，单位欧姆（\(\Omega\)）。在关联参考方向下，欧姆定律是

\[ v=Ri. \]

它不是由 KCL/KVL 推出的普遍自然定律，而是线性电阻的元件本构模型：实验表明在给定工作范围内 \(v/i\) 为常数，于是定义 \(R=v/i\)。因此 \(1\ \Omega=1\ \mathrm{V/A}\)。结合 \(p=vi\)，有

\[ p_R=Ri^2=\frac{v^2}{R}\ge 0\qquad(R>0), \]

理想正电阻只吸收功率并转化为热。

3.2 电容：储存电场能量

理想线性电容的电容值记为 \(C\)，单位法拉（F）。注意：斜体 \(C\) 在公式中表示电容量，而正体 \(\mathrm C\) 是电荷单位库仑。电容的端口模型是

\[ q=Cv_C, \]

其中 \(q\) 是正端极板上的电荷，\(v_C\) 是正端相对负端的电压。电流 \(i_C\) 流入正端：

图 1-3　从元件到网络的三层参考图：先定义电容端口方向，再用节点图写 KCL，最后沿指定绕行方向写串联回路 KVL。

若 \(C\) 为常数，由电流定义直接得到

\[ i_C=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} =C\frac{\mathrm dv_C}{\mathrm dt}. \]

从零电压缓慢充到 \(v_C\) 时，储能为

\[ w_C=\int_0^t p\,\mathrm dt =\int_0^{q}v\,\mathrm dq =\int_0^{v_C}v\,C\,\mathrm dv =\frac12Cv_C^2. \]

其中 \(w_C\) 的单位是焦耳；量纲为 \(\mathrm{F\cdot V^2=(C/V)V^2=C\cdot V=J}\)。

若电容电流始终有限，则

\[ v_C(t_2)-v_C(t_1)=\frac1C\int_{t_1}^{t_2}i_C(t)\,\mathrm dt. \]

当 \(t_2-t_1\to0\) 时积分趋于零，所以理想电容电压不能在有限电流下突变，即 \(v_C(0^+)=v_C(0^-)\)。若允许冲激电流，理想模型可以产生电压跳变，这正是“连续性”结论的边界。

直流稳态指电路经历足够长时间后所有端口量不再随时间变化。此时 \(\mathrm dv_C/\mathrm dt=0\)，故 \(i_C=0\)，理想电容对直流表现为开路；这不等于电容两端电压必为零。

3.3 独立源与不允许的理想连接

独立电压源规定端电压，不由负载电流决定；独立电流源规定支路电流，不由端电压决定：

图 1-4　电压源规定端电压而电流由外电路决定；电流源规定支路电流而端电压由外电路决定。

非零理想电压源不能被理想导线短路：电源要求 \(v=V_s\ne0\)，导线却要求 \(v=0\)，两个模型方程互相矛盾，并不存在有限解。若用很小的串联内阻 \(r_s\) 逼近真实源，则短路电流 \(I=V_s/r_s\)，当 \(r_s\to0^+\) 时电流及源的功率尺度趋于无穷。

非零理想电流源不能开路：电流源要求 \(i=I_s\ne0\)，开路却要求 \(i=0\)，同样无解。若用很大的并联内阻 \(r_p\) 逼近真实源，开路电压 \(V=I_s r_p\)，当 \(r_p\to\infty\) 时电压及功率尺度趋于无穷。真实电源会受内阻、限流、击穿和额定功率约束，不会真的产生无穷量。

3.4 受控源：输出由电路中的控制量决定

受控源（dependent source / controlled source）仍是理想源，但它规定的输出不是预先给定常数，而是电路中某个控制电压 \(v_x\) 或控制电流 \(i_x\) 的函数。图中用菱形区别于圆形独立源。

图 1-5　四类线性受控源。名称的第一个词说明输出类型，第二个词说明控制类型：VCVS 为压控电压源，VCCS 为压控电流源，CCVS 为流控电压源，CCCS 为流控电流源。

类型	控制关系	系数单位	常见模型角色
压控电压源 VCVS	\(v_o=\mu v_x\)	\(\mu\) 无量纲	理想化电压放大器、运放开环模型
压控电流源 VCCS	\(i_o=g_m v_x\)	\(g_m\) 为 S	晶体管跨导小信号模型
流控电压源 CCVS	\(v_o=r_m i_x\)	\(r_m\) 为 \(\Omega\)	跨阻模型
流控电流源 CCCS	\(i_o=\beta i_x\)	\(\beta\) 无量纲	BJT 电流增益近似模型

“控制”只说明方程依赖，不表示控制支路一定向输出支路供能。例如晶体管小信号模型中的 \(g_mv_{be}\) 受控电流源，输出交流能量最终来自直流电源；控制端口可以只改变能量传递。

受控源必须与控制量同时定义。若只画一个菱形源却没有标出 \(v_x\) 的正负极性或 \(i_x\) 的箭头，方程符号就是不完整的。例如规定 \(v_x=V_a-V_b\)、受控源电流从节点 \(o\) 流向地，才可以把节点 \(o\) 的流出项写成 \(+g_mv_x\)。若算得 \(g_mv_x<0\)，表示实际源电流与所画箭头相反。

分析含受控源的线性电路时有两条硬规则：

1. 做叠加时只把当前不作用的独立源置零；受控源保留，因为它随控制量一起响应。
2. 求无独立源一端口的等效电阻时，在端口加测试电压 \(v_t\) 或测试电流 \(i_t\)，保留全部受控源，求 \(R_{eq}=v_t/i_t\)。

例：端口节点 \(a\) 对地接电阻 \(R\)，另有 VCCS 电流 \(g_mv_a\) 从 \(a\) 流向地。向端口注入测试电流 \(i_t\)，KCL 为

\[ i_t=\frac{v_a}{R}+g_mv_a =v_a\left(\frac1R+g_m\right). \]

所以

\[ R_{eq}=\frac{v_a}{i_t} =\frac1{1/R+g_m}. \]

量纲检查：\(1/R\) 与 \(g_m\) 都是 S，可以相加；结果单位为 \(\Omega\)。若把受控源错误“关掉”，会误算成 \(R\)。若受控源箭头反向，KCL 变为 \(i_t=v_a/R-g_mv_a\)，等效电阻甚至可为负；负值不是代数自动出错，而说明有源网络可能向端口送能量。

3.5 证明链、量纲与极限检查

• 假设： 元件线性、参数 \(R,C\) 不随电压、电流、频率、温度或时间改变。
• 模型： 电阻满足 \(v=Ri\)；电容满足 \(q=Cv_C\)；独立源自行固定一种端口量；受控源按已定义的控制量固定输出电压或电流。
• 变量与参考方向： 电阻和电容均用关联参考方向，\(i\) 流入电压正端。
• 基本方程： \(i=\mathrm dq/\mathrm dt,\ p=vi\) 以及各元件本构方程。
• 求解： 得 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\) 和 \(w_C=\tfrac12Cv_C^2\)。
• 量纲检查： \(\mathrm{F\cdot V/s=(C/V)(V/s)=A}\)；\(\mathrm{F\cdot V^2=J}\)。
• 极限检查： \(R\to0\) 接近短路、\(R\to\infty\) 接近开路；直流稳态下电容电流为零；\(C\to0\) 时同一电压下储能趋零。
• 失效条件： 实际电阻会温漂和超功率，实际电容有漏电、等效串联电阻、击穿与寄生电感；源有内阻、带宽、输出摆幅、电流和功率范围；线性受控关系只在建模工作区内成立。

第二遍：适用边界

“电容直流开路”只描述直流稳态端口电流，不适用于刚切换后的暂态，也不表示初始储能消失。“电容电压连续”要求电流有限；“理想源不能短接/开路”是方程不相容，不是说任何实验电源一接就必然产生数学无穷。

30 秒回答

“电阻满足 \(v=Ri\)，电容由 \(q=Cv_C\) 得 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\)；直流稳态时电容电流为零。圆形独立源自行规定电压或电流，菱形受控源的输出由另一个控制量决定。受控源分 VCVS、VCCS、CCVS、CCCS；做叠加和求端口电阻时不能把受控源关掉。”

第二遍：90 秒回答

“电阻和电容是本构模型：\(v=Ri\)，\(q=Cv_C\)，所以 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\) 且储能为 \(Cv_C^2/2\)。理想独立源自行规定端电压或支路电流；非零电压源短路、非零电流源开路会造成方程不相容。受控源用菱形表示，输出由电路中已定义的 \(v_x\) 或 \(i_x\) 决定；四类关系的系数单位分别是无量纲、S、\(\Omega\)、无量纲。它不是独立激励，所以叠加时保留；求含受控源一端口的电阻时，要把独立源置零后加测试源，写 \(R_{eq}=v_t/i_t\)。所有理想源最终还受真实器件的供电、输出摆幅、电流、带宽和功耗限制。”

本节练习与递进追问

1. 一个 \(10\ \mu\mathrm F\) 电容的电压以 \(2\ \mathrm{V/ms}\) 匀速上升；在所问时刻 \(v_C=3\ \mathrm V\)。按图 1-3 的方向求 \(i_C\)，并判断该时刻它吸收还是释放能量。
2. 追问一：直流稳态下电容开路，为什么电容两端仍可能测得 \(5\ \mathrm V\)？
3. 追问二：两个理想电压源能否并联？请分别讨论电压相同和不同的情形。
4. 图 1-5 的 VCCS 若 \(g_m=5\ \mathrm{mS}\)、\(v_x=-20\ \mathrm{mV}\)，按图中箭头求输出电流，并解释负号。
5. 一个一端口只有 \(2\ \mathrm{k\Omega}\) 对地电阻和 \(0.5\ \mathrm{mS}\cdot v_t\) 的对地受控电流源。加测试电压 \(v_t\)，求输入电流和等效电阻；再把受控源箭头反向重算。

4. P0：KCL 与 KVL——守恒律怎样进入电路

本节先完成三件事

KCL 用在节点，所有项必须是电流；KVL 用在闭合回路，所有项必须是电压。先照图 1-3 统一方向、写出一条节点式和一条回路式，再讨论高频和变化磁通边界。

4.1 KCL：节点不会“吃掉”电流

节点是若干支路的理想导体连接区。先对每条支路任意规定参考方向：

图 1-3 中间的节点图规定 \(i_1\) 流入节点 \(a\)，\(i_2,i_3\) 流出；箭头仍只是参考方向。

取包围节点的很小封闭面，电荷守恒给出

\[ \sum i_{\text{流入}}-\sum i_{\text{流出}} =\frac{\mathrm dq_a}{\mathrm dt}, \]

其中 \(q_a\) 是封闭面内积累的净电荷。在集总、准静态模型中，理想节点不储存宏观电荷，即 \(\mathrm dq_a/\mathrm dt=0\)，于是

\[ i_1-i_2-i_3=0, \qquad\text{或}\qquad \sum_k i_k=0 \]

（后一式约定流出为正，所有支路电流作代数求和）。电流不会在节点被“消耗”；能量可以在元件中转化，但电荷必须连续守恒。若节点对地存在电容，支路电流 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\) 已经是电容介质中位移电流的集总表示，把这一条电容支路计入 KCL 即可，不能再额外加一条“位移电流”而重复计算。

4.2 KVL：符号来自绕行方向，不是“电压全为正”

考虑一个电压源和两个串联电阻，回路电流参考方向为顺时针：

图 1-3 右侧给出了完整回路。沿顺时针按“电压降为正”记录：跨过电源是从“−”到“+”，所以它贡献 \(-V_s\)。

若回路没有未建模的时变磁通，单位电荷绕闭合路径一周回到原状态，净能量变化为零，因此各段电压降的代数和为零：

\[ -V_s+R_1i+R_2i=0, \qquad i=\frac{V_s}{R_1+R_2}. \]

KVL 的“和为零”从不意味着每项都为正；每项符号由绕行方向与元件标注共同决定。换成逆时针绕行，方程整体乘以 \(-1\)，物理解不变。

更一般地，法拉第电磁感应定律给出

\[ \oint \mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l =-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}, \]

其中 \(\mathbf E\) 是电场，\(\Phi_B\) 是回路所围磁通。若右端不可忽略，把所有电压仅当作静电势差后直接令其和为零会失败。集总电路仍可把感应效应建模成电感或一个感应电动势支路，再对包含该支路电压的网络列 KVL；若外部时变磁通未被建模，就不能机械套用零和式。

4.3 完整证明链

• 假设： 电路尺寸远小于有关信号波长，传播延迟可忽略；节点无未建模的净电荷积累；回路无未建模的时变磁通。
• 模型： 导线为等势连接，器件由集总支路代替。
• 变量与参考方向： 图 1-3 中间面板明确各支路流入/流出，右侧面板明确顺时针绕行与每个电压极性。
• 基本方程： 电荷守恒 \(\sum i_{\rm in}-\sum i_{\rm out}=\mathrm dq_a/\mathrm dt\)；单位电荷闭路能量平衡，或将感应电动势显式计入。
• 求解： 理想节点令右端为零得到 KCL；闭路净能量变化为零得到 KVL。
• 量纲检查： KCL 每项均为 A；KVL 每项均为 V。不能把电流与电压放在同一个代数和中。
• 极限检查： 只有一条支路接到孤立节点时 KCL 强制该支路电流为零；令 \(R_1=0\)，单回路解退化为 \(i=V_s/R_2\)。
• 失效条件： 高频长互连、强辐射、显著传播延迟、未建模寄生电容或外部变化磁通下，简单集总图不再充分，应补元件或改用分布参数/电磁场模型。

第二遍：适用边界

KCL 的根源始终是电荷守恒，但“所有导电电流瞬时相加为零”的简式依赖集总准静态模型；电介质中的位移电流效应要通过相应电容支路计入，不能在电容支路之外再重复相加。KVL 的零和式要求所有感应电动势已经包含在支路模型中。含电感不等于 KVL 失效，漏掉外部磁耦合才是常见问题。

30 秒回答

“KCL 来自电荷守恒。对理想节点没有净电荷积累，所以流入电流之和等于流出电流之和；电流不会在节点被消耗。KVL 是闭合回路的能量平衡，沿指定方向各电压升降作代数和为零，不是所有电压都取正。它们都建立在集总准静态模型上；外部时变磁通产生的感应电动势必须显式计入。”

第二遍：90 秒回答

“我会先画参考方向再列式。对节点取一个小封闭面，电荷守恒是流入减流出等于内部电荷变化率；集总模型把理想节点的储能和电荷积累忽略，所以得到 KCL。对闭合回路，若没有未建模的时变磁通，单位电荷绕行一周净能量变化为零，得到各电压变化的代数和为零。比如图中的顺时针方程是 \(-V_s+R_1i+R_2i=0\)，负号表示跨电源是电压上升，并不表示电源电压本身“是负的”。法拉第定律说明若回路穿过变化磁通，场的闭路积分等于 \(-\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt\)；这时应把感应电动势或电感纳入模型，否则朴素的电势差零和式不成立。”

含负号的口述判断

仍用图 1-3 中间面板的方向。若 \(i_1=2\ \mathrm{mA}\)、\(i_3=5\ \mathrm{mA}\)，则

\[ i_1-i_2-i_3=0 \quad\Rightarrow\quad i_2=-3\ \mathrm{mA}. \]

应口述为：“\(i_2\) 相对所画的流出方向为负，所以实际有 \(3\ \mathrm{mA}\) 流入节点。”不能说“出现了不可能的负电流”。代回检查：流入 \(2+3=5\ \mathrm{mA}\)，等于流出 \(5\ \mathrm{mA}\)。

本节练习与递进追问

1. 图 1-3 中间面板中若 \(i_1=-1\ \mathrm{mA},\ i_2=2\ \mathrm{mA}\)，求 \(i_3\)，并把每个负号翻译成实际方向。
2. 追问一：节点接了一个对地电容后，能否仍说“流入等于流出”？怎样把电容电流计入？
3. 追问二：把导线绕在快速变化磁场附近，电压表读数可能依赖测试引线围成的路径，为什么这提示朴素 KVL 的边界？

5. P0：串并联、分压分流与节点电压法

本节先完成三件事

不靠“看起来像”判断串并联，而是看是否共享电流或共享两个节点。节点法固定执行：选地、标节点电压、把支路电流写成节点电压、列 KCL。图 1-7 是本节必须能独立复现的例题。

5.1 串联和分压从 KCL/KVL 得出

两个元件串联，是指它们首尾相接且中间节点没有其他支路。由该中间节点的 KCL，两者通过同一个电流 \(i\)。对两个串联电阻列 KVL：

\[ v=v_1+v_2=R_1i+R_2i=(R_1+R_2)i. \]

因此串联等效电阻

\[ R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2. \]

若总电压为 \(V_s\)，则 \(i=V_s/(R_1+R_2)\)，所以

\[ v_1=V_s\frac{R_1}{R_1+R_2}, \qquad v_2=V_s\frac{R_2}{R_1+R_2}. \]

这就是两电阻分压。它成立的关键是两只电阻电流相同；若分压点接入负载，负载会与其中一只电阻并联，不能继续使用未加载的公式。

5.2 并联和分流从 KCL/KVL 得出

两个元件并联，是指它们的两端分别接到同一对节点。由端点定义，两者电压相同为 \(v\)。总电流为 \(I\) 时，KCL 给出

\[ I=i_1+i_2=\frac{v}{R_1}+\frac{v}{R_2} =v\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right). \]

故

\[ \frac1{R_{\mathrm{eq}}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}, \qquad R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}. \]

由 \(v=IR_{\mathrm{eq}}\) 得两支路分流公式

\[ i_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}, \qquad i_2=I\frac{R_1}{R_1+R_2}. \]

电流分配与本支路电阻成反比。也可定义电导 \(G=1/R\)，单位西门子（S），其中 \(1\ \mathrm S=1\ \mathrm{A/V}\)；此时 \(i_1=I\,G_1/(G_1+G_2)\)，更不容易记反。

5.3 完整两节点例题：选地—标节点—列 KCL—求解

下图只有两个本质节点：参考地 \(b\) 和未知节点 \(a\)。左侧理想电压源使已知节点为 \(V_s=12\ \mathrm V\)；\(R_1=2\ \mathrm{k\Omega}\)，\(R_2=4\ \mathrm{k\Omega}\)；独立电流源 \(I_s=1\ \mathrm{mA}\) 从地向节点 \(a\) 注入电流。

图 1-7　两节点例题与一端口等效。 左图给出有完整返回路径的两节点网络：电压源使节点 \(s\) 对地电压 \(V_s=12\ \mathrm V\)，电流源由地 \(b\) 向节点 \(a\) 注入电流。在节点 \(a\) 统一采用“流出为正”，所以 \(i_{R1}=(V_a-V_s)/R_1\)、\(i_{R2}=V_a/R_2\)，注入源在流出和式中写成 \(-I_s\)。右图预览第 6 节使用的戴维南与诺顿端口模型。

1. 选地： 令 \(V_b=0\)。
2. 标节点： 令 \(V_a\) 为节点 \(a\) 相对地的电压，单位 V。

3. 列 KCL： \(\displaystyle \frac{V_a-V_s}{R_1}+\frac{V_a}{R_2}-I_s=0 \)。

4. 求解： \(\displaystyle V_a= \frac{V_s/R_1+I_s}{1/R_1+1/R_2} = \frac{12\ \mathrm V/(2\ \mathrm{k\Omega})+1\ \mathrm{mA}} {1/(2\ \mathrm{k\Omega})+1/(4\ \mathrm{k\Omega})} =\frac{7\ \mathrm{mA}}{0.75\ \mathrm{mS}} =9.33\ \mathrm V \)。

5. 回代： 经 \(R_1\) 流出的电流为 \((9.33-12)\ \mathrm V/(2\ \mathrm{k\Omega})=-1.33\ \mathrm{mA}\)，即实际从 \(12\ \mathrm V\) 端流入节点；经 \(R_2\) 流出 \(2.33\ \mathrm{mA}\)。于是 \(-1.33+2.33-1=0\ \mathrm{mA}\)。

5.4 证明链、量纲与极限检查

• 假设： 电阻为线性正电阻，连接线是理想导线，独立源处于额定模型范围。
• 模型： 串联共享电流、并联共享电压；节点电压是相对所选参考地的电势差。
• 变量与参考方向： 图 1-7 对节点 \(a\) 统一取流出电流为正。
• 基本方程： 电阻满足 \(i=(V_{\rm 起点}-V_{\rm 终点})/R\)，节点满足 KCL，闭路满足 KVL。
• 求解： 合并同类项得到 \(V_a=(V_s/R_1+I_s)/(1/R_1+1/R_2)\)。
• 量纲检查： 分子是 A，分母是 S（A/V），所以结果是 V；分压与分流系数均无量纲。
• 极限检查： 图 1-7 中 \(R_1\to0\) 时 \(V_a\to V_s\)；\(R_1\to\infty\) 时 \(V_a\to I_sR_2=4\ \mathrm V\)；\(R_2\to0\) 时 \(V_a\to0\)；\(R_2\to\infty\) 时 \(V_a\to V_s+I_sR_1=14\ \mathrm V\)。
• 失效条件： 电阻非线性、源饱和、地线有明显阻抗或电路进入分布参数范围时，必须修改模型；分压点被加载时要把负载并入网络重算。

第二遍：适用边界

“串联”不是“图上画成一排”，“并联”也不是“看起来上下平行”，只能根据节点连接判断。节点法对线性与非线性集总网络都能列 KCL，但非线性网络得到的通常不是线性方程。遇到两个非参考节点由理想电压源相连时，可用超节点，本文暂不展开。

30 秒回答

“串联共享电流，所以由 KVL 得 \(R_{\rm eq}=\sum R\) 和分压；并联共享电压，所以由 KCL 得 \(1/R_{\rm eq}=\sum1/R\) 和分流。节点电压法先选地，再给未知节点标电压，把每条支路电流都用节点电压表示，最后列 KCL。符号由统一的流入或流出约定决定。”

第二遍：90 秒回答

“串并联公式不是独立背诵项。串联中间节点没有第三条支路，KCL 迫使电流相同；再由 KVL 把各电阻压降相加，得到串联等效和分压。并联元件跨接同一对节点，所以电压相同；KCL 将各支路电流相加，得到并联等效和分流。节点法就是系统化应用 KCL：选一个参考地，给其他节点定义电压，按 \((V_a-V_b)/R\) 写支路电流。例如图 1-7 取流出为正，方程是 \((V_a-V_s)/R_1+V_a/R_2-I_s=0\)。算出负支路电流只说明实际方向与假设相反。最后用 A/S=V 检查量纲，并检查短路、开路极限。”

本节练习与递进追问

1. 把图 1-7 的 \(I_s\) 改为从 \(a\) 流向地，重新列式，不必先算数值。
2. 追问一：若在节点 \(a\) 再接一个 \(4\ \mathrm{k\Omega}\) 负载到地，\(V_a\) 上升还是下降？先判断再计算。
3. 追问二：两个标称 \(1\ \mathrm{k\Omega}\) 的电阻“首尾相接”，什么情况下仍不能称为串联？

6. P0：叠加、戴维南与诺顿等效

本节先完成三件事

先会执行，不必先读线性代数证明：叠加时一次只保留一个独立源；戴维南先求开路电压和端口电阻；诺顿再由短路电流或 \(I_N=V_{th}/R_{th}\) 得到。所有“等效”只保证端口关系相同。

6.1 叠加定理：先会拆源计算

实际计算按四步进行：

1. 选定要求的节点电压或支路电流；
2. 每次只保留一个独立源，其他独立电压源置零为短路、独立电流源置零为开路；
3. 分别求出带符号的电压或电流贡献；
4. 将贡献代数相加，并用原电路回代检查。

受控源始终保留。功率不是线性响应，不能把各次单独作用的功率直接相加。

第二遍：为什么线性响应可以相加

若网络中元件关系和控制关系均为线性，并且所求量是电压或电流，还要假设选定参考地和模型约束后方程相容且解唯一。这等价于下式的系数矩阵 \(\mathbf A\) 对所求响应非奇异，线性方程组可写成

\[ \mathbf A\mathbf x =\mathbf b_1+\mathbf b_2+\cdots, \]

其中 \(\mathbf x\) 是未知电压、电流列向量，\(\mathbf A\) 由网络参数决定，\(\mathbf b_k\) 是第 \(k\) 个独立源的激励。因为

\[ \mathbf x =\mathbf A^{-1}\mathbf b_1+\mathbf A^{-1}\mathbf b_2+\cdots, \]

总响应等于各独立源单独作用的响应之和，这就是叠加定理。

单独保留一个独立源时，其他独立源置零：

• 理想独立电压源置为 \(0\ \mathrm V\)，等效为短路；
• 理想独立电流源置为 \(0\ \mathrm A\)，等效为开路；
• 受控源由电路变量决定，不能简单置零，必须保留；求等效电阻时通常在端口加测试源。

叠加直接适用于电压和电流，不直接适用于功率，因为 \(p=v^2/R\) 或 \(p=i^2R\) 是二次量。含电容、电感的线性动态电路若有非零初始条件，应把初始条件视为额外激励，不能悄悄忽略。线性本身不保证问题良定：冲突的理想源约束会使方程无解，悬浮节点或冗余理想约束可能使解不唯一；这些情形中 \(\mathbf A^{-1}\) 不存在，应先修正参考节点或源模型，不能套用上面的求逆推导。

6.2 同一个一端口求戴维南和诺顿等效

一端口是从外部只看到端子 \(a,b\) 的网络。仍使用图 1-7 左侧网络，并把节点 \(a\) 与参考地 \(b\) 看作输出端口。端口电压定义为 \(v=V_a-V_b\)；端口输出电流 \(i\) 从 \(a\) 流向外部负载。开路时外部支路的 \(i=0\)。

开路电压 \(V_{\rm th}\)。 端口开路时外部电流为零，但内部的 \(1\ \mathrm{mA}\) 电流源仍向节点 \(a\) 注入电流，不能因“外部开路”而删掉。对节点 \(a\) 列 KCL：

\[ V_{\rm th}=V_{\rm oc} =\frac{12\ \mathrm V/(2\ \mathrm{k\Omega})+1\ \mathrm{mA}} {1/(2\ \mathrm{k\Omega})+1/(4\ \mathrm{k\Omega})} =9.33\ \mathrm V. \]

其中 \(V_{\rm th}\) 是戴维南电压，\(V_{\rm oc}\) 是开路电压，单位均为 V。

等效电阻 \(R_{\rm th}\)。 将全部独立源置零：独立 \(12\ \mathrm V\) 电压源用短路代替，独立 \(1\ \mathrm{mA}\) 电流源用开路代替。从 \(a,b\) 看进去，\(R_1,R_2\) 并联：

\[ R_{\rm th}=R_1\parallel R_2 =\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} =\frac43\ \mathrm{k\Omega}. \]

若网络含受控源，受控源保持工作，在端口加测试电压 \(V_t\)，求流入网络的测试电流 \(I_t\)，再用 \(R_{\rm th}=V_t/I_t\)；不能把受控源“关掉”。

短路电流 \(I_N\)。 将 \(a,b\) 理想短接，\(R_2\) 被旁路；\(12\ \mathrm V\) 源经 \(R_1\) 向节点注入 \(6\ \mathrm{mA}\)，原独立电流源再注入 \(1\ \mathrm{mA}\)。所以短路中从 \(a\) 流向 \(b\) 的电流为

\[ I_N=I_{\rm sc} =\frac{12\ \mathrm V}{2\ \mathrm{k\Omega}}+1\ \mathrm{mA} =7\ \mathrm{mA}. \]

其中 \(I_N\) 是诺顿电流，\(I_{\rm sc}\) 是端口短路电流。诺顿等效画成电流源 \(I_N\) 与 \(R_N\) 并联；电流源内部箭头由 \(b\) 指向 \(a\)，这样它向短路交付的外部电流方向是 \(a\to b\)。并且

\[ R_N=R_{\rm th},\qquad V_{\rm th}=I_NR_{\rm th} =7\ \mathrm{mA}\times\frac43\ \mathrm{k\Omega} =9.33\ \mathrm V. \]

图 1-7 右侧画出了同一线性一端口的戴维南与诺顿等效。它们只保证端口 \(v\)-\(i\) 关系相同，不保证内部电压、电流或功耗相同。

6.3 第二遍：两种有限等效何时同时存在

线性电阻一端口的端口特性是仿射直线，但直线可能水平或竖直，不一定同时具有两种有限参数等效。一般写成

\[ a v+b i=c, \]

其中 \(a,b,c\) 是由内部线性网络与独立源决定的常数，\(v,i\) 仍采用图 1-7 的参考方向。若 \(a\ne0\) 且 \(b\ne0\)，既能解出电压形式

\[ v=\frac ca-\frac ba i =V_{\rm th}-R_{\rm th}i, \]

也能解出电流形式

\[ i=\frac cb-\frac ab v =I_N-\frac{v}{R_N}. \]

此时开路和短路操作都有有限解，并且

\[ V_{\rm th}=V_{\rm oc}=\frac ca,\qquad I_N=I_{\rm sc}=\frac cb,\qquad R_{\rm th}=R_N=\frac ba, \]

\[ V_{\rm th}=I_NR_{\rm th}. \]

因此，戴维南与诺顿的普通有限源变换要求有限的 \(V_{\rm oc}\)、\(I_{\rm sc}\) 和有限非零的端口电阻；还要确保实际开路、短路测试不会让器件超额定值。图 1-7 满足这些条件，所以前面的 \(9.33\ \mathrm V\)、\(\tfrac43\ \mathrm{k\Omega}\) 和 \(7\ \mathrm{mA}\) 可相互转换。

奇异直线必须单独处理：

• 非零理想电流源满足 \(i=I_s\)，相当于 \(a=0\)。端口开路又要求 \(i=0\)，两式不相容，所以没有有限开路电压，也没有有限参数的戴维南形式；它的理想诺顿形式对应并联电阻趋于无穷。
• 非零理想电压源满足 \(v=V_s\)，相当于 \(b=0\)。端口短路又要求 \(v=0\)，两式不相容，所以没有有限短路电流，也没有有限参数的诺顿形式；它的理想戴维南形式对应串联电阻为零。

6.4 最大功率传输不等于最高效率

以下证明进一步要求 \(R_{\rm th}>0\)。在戴维南等效端接正负载电阻 \(R_L\)（单位 \(\Omega\)），负载功率为

\[ P_L =\left(\frac{V_{\rm th}}{R_{\rm th}+R_L}\right)^2R_L =\frac{V_{\rm th}^2R_L}{(R_{\rm th}+R_L)^2}. \]

对 \(R_L\) 求导：

\[ \frac{\mathrm dP_L}{\mathrm dR_L} =\frac{V_{\rm th}^2(R_{\rm th}-R_L)} {(R_{\rm th}+R_L)^3}. \]

当 \(R_L<R_{\rm th}\) 时导数为正，当 \(R_L>R_{\rm th}\) 时导数为负，所以唯一最大点为

\[ R_L=R_{\rm th}, \qquad P_{L,\max}=\frac{V_{\rm th}^2}{4R_{\rm th}}. \]

若只考察抽象戴维南发生器，把 \(R_{\rm th}\) 当作它唯一的内部损耗电阻，可定义该等效模型的发生器效率

\[ \eta_{\rm Th}=\frac{P_L}{P_L+P_{R_{\rm th}}} =\frac{R_L}{R_{\rm th}+R_L}. \]

在最大功率点 \(R_L=R_{\rm th}\)，有 \(\eta_{\rm Th}=50\%\)：负载与等效串联电阻耗散相同功率。在这个抽象模型的口径内，增大 \(R_L\) 会使 \(\eta_{\rm Th}\) 趋近 \(100\%\)，但负载功率反而趋近零。因此“最大功率”与“最高效率”是不同优化目标。

不要把这 50% 当作原网络全部独立源到负载的总效率。 戴维南等效只保持端口 \(v\)-\(i\) 关系，不保持内部静态功耗。以图 1-7 为例，在 \(R_L=R_{\rm th}=\tfrac43\ \mathrm{k\Omega}\) 时，负载电压为 \(V_{\rm th}/2=4.667\ \mathrm V\)、负载功率为

\[ P_L=\frac{(4.667\ \mathrm V)^2}{(4/3)\ \mathrm{k\Omega}} =16.33\ \mathrm{mW}. \]

抽象戴维南源的电流为 \(3.50\ \mathrm{mA}\)，它提供 \(9.33\ \mathrm V\times3.50\ \mathrm{mA}=32.67\ \mathrm{mW}\)，其中 \(16.33\ \mathrm{mW}\) 耗在 \(R_{\rm th}\)，所以 \(\eta_{\rm Th}=50\%\)。但在原图中，\(R_2\parallel R_L=1\ \mathrm{k\Omega}\)，节点电压仍为 \(4.667\ \mathrm V\)。实际 \(12\ \mathrm V\) 源提供

\[ P_{12\mathrm V} =12\ \mathrm V\times\frac{12-4.667}{2\ \mathrm{k\Omega}} =44.00\ \mathrm{mW}. \]

\(1\ \mathrm{mA}\) 电流源的电流从低电势端流向 \(4.667\ \mathrm V\) 节点，因此还向网络提供 \(4.667\ \mathrm{mW}\)。两只独立源合计提供 \(48.67\ \mathrm{mW}\)，故按“全部独立源提供的净功率”定义的原网络效率为

\[ \eta_{\rm orig} =\frac{16.33}{48.67} =33.6\%. \]

\(R_1\) 与 \(R_2\) 分别耗散 \(26.89\ \mathrm{mW}\) 与 \(5.44\ \mathrm{mW}\)；加上负载的 \(16.33\ \mathrm{mW}\)，恰与两源提供的 \(48.67\ \mathrm{mW}\) 平衡。因此，\(\eta_{\rm Th}\) 是端口等效模型的串联内阻核算，\(\eta_{\rm orig}\) 才是原网络全部独立源到负载的功率核算；多源网络若只把其中一个源放在分母，会得到没有统一物理含义的“效率”。

6.5 完整证明链、量纲与极限检查

• 假设： 一端口在所考察工作范围内线性，参数不随激励幅度改变；若要在两种有限等效间转换，还要求 \(a,b\ne0\)，开路与短路均有有限解且测试不会超出器件额定范围。
• 模型： 先用一般端口直线 \(av+bi=c\)；在 \(a,b\ne0\) 时改写为 \(v=V_{\rm th}-R_{\rm th}i\)。
• 变量与参考方向： \(v=V_a-V_b\)；\(i\) 是网络从 \(a\) 向负载交付的电流。
• 基本方程： KCL/KVL、线性叠加以及端口开路/短路定义。
• 求解： 在对应操作存在有限解时，取 \(i=0\) 得 \(V_{\rm th}\)，将独立源置零或加测试源得 \(R_{\rm th}\)，取 \(v=0\) 得 \(I_N\)。
• 量纲检查： \(V_{\rm th}/R_{\rm th}\) 的单位为 V/\(\Omega\)=A；\(V_{\rm th}^2/R_{\rm th}\) 的单位为 W。
• 极限检查： \(R_L\to0\) 时 \(V_L\to0,P_L\to0\)；\(R_L\to\infty\) 时 \(I_L\to0,P_L\to0\)，因此中间存在功率峰值。公共例题中 \(I_NR_{\rm th}=7\ \mathrm{mA}\times(4/3)\ \mathrm{k\Omega}=9.33\ \mathrm V=V_{\rm th}\)。
• 失效条件： \(a=0\) 或 \(b=0\) 时只有一种非有限参数形式；非线性器件跨越多个工作区、开短路会损坏网络、参数随温度显著改变、或一端口含能量初值且观察暂态时，单一常数 \(V_{\rm th},R_{\rm th}\) 不能全局描述。

第二遍：适用边界

戴维南/诺顿等效只保证指定端口对外行为相同，不保留内部功率分配或原独立源提供的总功率，因此 \(\eta_{\rm Th}=50\%\) 不能替代原电路的源到负载效率。含受控源的线性网络仍可等效，但求 \(R_{\rm th}\) 时必须保留受控源并使用测试源。非零理想电流源没有有限 \(V_{\rm oc}\)，不能变成有限参数的戴维南源；非零理想电压源没有有限 \(I_{\rm sc}\)，不能变成有限参数的诺顿源。零端口电阻会使普通有限源变换退化；负的有限非零增量电阻仍可作端口源变换，但上述正电阻最大功率和 \(\eta_{\rm Th}=50\%\) 结论不适用。非线性电路只可在选定工作点附近做小信号线性化后局部使用。

30 秒回答

“线性一端口的端口特性是直线。若开路电压、短路电流均有限且端口电阻有限非零，才可同时写成戴维南和诺顿形式，并有 \(V_{\rm th}=V_{\rm oc}\)、\(I_N=I_{\rm sc}\)、\(V_{\rm th}=I_NR_{\rm th}\)。求电阻时独立源置零，但受控源必须保留。非零理想电流源没有有限开路电压，非零理想电压源没有有限短路电流，是两个奇异反例。对正内阻，\(R_L=R_{\rm th}\) 时负载功率最大；抽象戴维南发生器效率 \(\eta_{\rm Th}\) 为 50%，但原网络总效率要回到内部电路另算。”

第二遍：90 秒回答

“线性一端口的本质是端口特性为仿射直线 \(av+bi=c\)。当 \(a,b\) 都非零时，可以分别解成 \(v=V_{\rm th}-R_{\rm th}i\) 与 \(i=I_N-v/R_N\)；开路和短路给出有限的 \(V_{\rm th}=V_{\rm oc}\) 与 \(I_N=I_{\rm sc}\)，并有 \(R_N=R_{\rm th}\)、\(V_{\rm th}=I_NR_{\rm th}\)。把独立电压源短路、独立电流源开路可求端口电阻；若有受控源，必须保留并加测试源。若 \(a=0\)，非零理想电流源开路无有限解；若 \(b=0\)，非零理想电压源短路无有限解，所以不能无条件互换。对 \(R_{\rm th}>0\) 的普通情形，接负载后求导得 \(R_L=R_{\rm th}\) 时功率最大；此时负载与等效串联电阻功率相等，故抽象戴维南发生器的 \(\eta_{\rm Th}=50\%\)。等效不保持原网络内部功率；图 1-7 的两只独立源合计提供 \(48.67\ \mathrm{mW}\)，负载得到 \(16.33\ \mathrm{mW}\)，原网络效率为 \(33.6\%\)，两种效率不能混用。”

本节练习与递进追问

1. 对图 1-7 不重算内部支路，直接用两种等效分别求接入 \(R_L=4\ \mathrm{k\Omega}\) 后的负载电流。
2. 追问一：一个只含受控源和电阻的一端口，关掉全部独立源后能否直接说 \(R_{\rm th}=0\)？为什么？
3. 追问二：若求最大功率时得到 \(R_L=R_{\rm th}\)，如何用 \(R_L\to0\) 和 \(R_L\to\infty\) 两个极限排除它是最小值？

7. P0：一阶 RC 暂态

本节先完成三件事

任何一阶 RC 题先找初值 \(V_0\)、终值 \(V_f\) 和时间常数 \(\tau\)，再写“终值 +（初值−终值）指数项”。第一次先用图 1-8 的 \(0^+,\tau,\infty\) 三点检查曲线，完整积分证明放到第二遍。

配合RC 阶跃响应实验使用：先算出 \(\tau\) 与 \(v_C(\tau)\)，再分别只改变 \(R\)、\(C\)、\(V_f\) 或 \(V_0\)，说明横向快慢、起点、终点和变化方向各由谁决定。

7.1 电路、初值和最终值

开关在 \(t=0\) 接通后，理想恒压源 \(V_f\) 经电阻 \(R\) 驱动电容 \(C\)。\(V_0\) 表示切换前一瞬间的电容电压 \(v_C(0^-)\)；\(V_f\) 也是该电路在足够长时间后的目标电压。

图 1-8　串联 RC 阶跃电路与指数响应。 左图中电源使节点 \(s\) 对地 \(b\) 的电压为 \(V_f\)；\(v_C=V_a-V_b\)，\(i_C\) 流入电容正端，采用关联参考方向。开关闭合后，电阻电流与 \(i_C\) 相同。右图同时标出初值、终值与一倍时间常数的位置。

有限电流下电容电压连续，所以

\[ v_C(0^+)=v_C(0^-)=V_0. \]

当 \(t\to\infty\)，电路进入直流稳态，\(i_C\to0\)，电阻压降 \(Ri_C\to0\)，故

\[ v_C(\infty)=V_f. \]

7.2 第二遍：从 KCL 与微分方程完整推导

对电容上端节点列 KCL。流过电阻、进入电容的电流相同：

\[ \frac{V_f-v_C}{R} =i_C =C\frac{\mathrm dv_C}{\mathrm dt}. \]

整理：

\[ \frac{\mathrm dv_C}{\mathrm dt} =-\frac{1}{RC}(v_C-V_f). \]

令误差 \(x(t)=v_C(t)-V_f\)，则

\[ \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{x}{RC}. \]

对 \(x\ne0\) 的区间分离变量，并从 \(0^+\) 积分到 \(t\)：

\[ \int_{x(0^+)}^{x(t)}\frac{\mathrm dx}{x} =-\int_0^t\frac{\mathrm dt}{RC}, \]

\[ \ln\left|\frac{x(t)}{x(0^+)}\right|=-\frac{t}{RC}, \qquad x(t)=x(0^+)e^{-t/(RC)}. \]

其中 \(\ln\) 表示自然对数，\(e\approx2.718\) 是自然对数的底。解在有限时间内保持与 \(x(0^+)\) 同号，所以去掉绝对值时符号由初值确定；若 \(x(0^+)=0\)，则直接得到特殊解 \(x(t)=0\)。

由于 \(x(0^+)=V_0-V_f\)，得到统一形式

\[ \boxed{v_C(t)=V_f+(V_0-V_f)e^{-t/(RC)},\qquad t\ge0.} \]

定义时间常数

\[ \tau=RC, \]

单位为秒，因为 \(\Omega\cdot\mathrm F=(\mathrm{V/A})(\mathrm{C/V})=\mathrm{C/A}=\mathrm s\)。\(\tau\) 描述误差缩小到原来的 \(e^{-1}\approx36.8\%\) 所需时间。因此在 \(t=\tau\) 时，电容已经完成总变化量的

\[ 1-e^{-1}\approx63.2\%. \]

“63.2%”是从初值朝终值走过的比例，所以放电时也适用，不能误说成“电压总是等于终值的 63.2%”。

电容电流为

\[ i_C(t)=C\frac{\mathrm dv_C}{\mathrm dt} =\frac{V_f-V_0}{R}e^{-t/\tau}. \]

若 \(V_f>V_0\)，按图中方向 \(i_C>0\)，\(v_C\) 向代数值更大的终值变化；若 \(V_f<V_0\)，则 \(i_C<0\)，实际电流与箭头相反，\(v_C\) 向代数值更小的终值变化。电流符号本身不能判断电容吸收还是释放能量；瞬时功率仍要按关联参考方向计算 \(p_C(t)=v_C(t)i_C(t)\)。

例如 \(V_0=-1\ \mathrm V,\ V_f=-2\ \mathrm V\) 时，虽然 \(V_f<V_0\) 且 \(i_C<0\)，过渡过程中 \(v_C<0\)，所以 \(p_C=v_Ci_C>0\)，电容反而吸收能量。若波形跨过 \(v_C=0\)，\(p_C\) 还可能在过渡过程中改变符号。

7.3 三点法检查与波形

图 1-8 右侧给出 \(V_f>V_0\) 时的指数电压上升波形：斜率随误差缩小而减小，曲线渐近终值而不超调；是否净吸收能量还要比较 \(|V_f|\) 与 \(|V_0|\)。

拿到任何一阶 RC 答案，至少检查三点：

1. 初值： 代 \(t=0^+\)，指数为 1，得 \(v_C(0^+)=V_0\)；
2. 一倍时间常数： 代 \(t=\tau\)，得 \(v_C(\tau)=V_f+(V_0-V_f)e^{-1}\)，已完成 63.2%；
3. 终值： 令 \(t\to\infty\)，指数趋零，得 \(v_C(\infty)=V_f\)。

再看参数趋势：

• \(R\) 增大：\(\tau=RC\) 增大，变化更慢；初始电流幅值 \(|V_f-V_0|/R\) 变小；
• \(C\) 增大：\(\tau\) 增大，变化更慢；在同一 \(R\) 和电压阶跃下初始电流不变，但持续更久；
• 输入幅度 \(V_f-V_0\) 加倍：响应幅度和电流幅度加倍，\(\tau\) 不变；
• \(R\to\infty\)：\(\tau\to\infty\)，有限时间内几乎不变；
• \(R\to0^+\)：\(\tau\to0^+\)，公式趋向瞬时变化，同时初始电流趋于无穷；这与“有限电流下电压连续”不矛盾，而是理想零电阻极限允许冲激电流，说明模型出现奇异边界。

7.4 第二遍：能量说明

电容从 \(V_0\) 变化到 \(V_f\) 的储能变化为

\[ \Delta W_C =\frac12C(V_f^2-V_0^2). \]

因此 \(|V_f|>|V_0|\) 时电容净吸收能量，\(|V_f|<|V_0|\) 时电容净释放能量；这取决于电压绝对值而不是 \(V_f-V_0\) 的正负。上面的反例有

\[ \Delta W_C =\frac12C\left[(-2\ \mathrm V)^2-(-1\ \mathrm V)^2\right] =\frac32C(1\ \mathrm V)^2>0. \]

以 \(V_0=0\) 充到 \(V_f>0\) 为例，电源输送的总能量记为 \(W_s\)：

\[ W_s=\int_0^\infty V_f i_C(t)\,\mathrm dt =CV_f^2. \]

电容最终储存的能量记为 \(W_C\)：

\[ W_C=\frac12CV_f^2, \]

另有 \(\tfrac12CV_f^2\) 在电阻中耗散。更一般地，从 \(V_0\) 过渡到 \(V_f\) 时电阻耗散的能量记为 \(W_R\)：

\[ W_R=\int_0^\infty i_C^2R\,\mathrm dt =\frac12C(V_f-V_0)^2. \]

在理想恒压源、线性电阻模型里，把 \(R\) 减小只能让过程更快，并不会减少这次从零充电的电阻总耗能；当 \(R\to0\) 时，功率脉冲变得无限高、无限窄，但积分仍有限。这是理想模型的极限结论，真实电路受寄生参数和源限流影响。

7.5 完整证明链、量纲与极限检查

• 假设： \(t\ge0\) 时 \(V_f\) 恒定，\(R,C\) 为正常数，开关理想，电容电流有限且只有一个独立储能状态。
• 模型： 电阻满足 \(v_R=Ri_C\)，电容满足 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\)。
• 变量与参考方向： 图 1-8 中 \(v_C\) 上正下负，\(i_C\) 流入正端。
• 基本方程： KCL 给出 \((V_f-v_C)/R=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\)，连续性给出 \(v_C(0^+)=V_0\)。
• 求解： 对误差 \(v_C-V_f\) 分离变量并积分，得到指数通解。
• 量纲检查： 指数 \(t/(RC)\) 必须无量纲；\(RC\) 单位为 s；电流式的单位 V/\(\Omega\)=A。
• 极限检查： 三点法给出 \(0^+,\tau,\infty\)；\(V_f=V_0\) 时全程 \(v_C=V_f,i_C=0\)。
• 失效条件： 非线性电容、漏电、等效串联电阻/电感、开关有限速度、源输出电阻或限流、多个独立储能元件、分布效应显著时，单一指数模型需修改。

第二遍：适用边界

统一式适用于切换后拓扑不再改变、能够化为一阶线性常系数方程的 RC 网络。更一般的一阶网络只有在线性化自然响应稳定，且对正常数 \(C\) 有 \(R_{\rm seen}>0\) 时，才能把 \(\tau=R_{\rm seen}C>0\) 写进“终值 +（初值−终值）指数衰减”；这里 \(R_{\rm seen}\) 是独立源置零后电容看到的等效电阻。若含受控源的一端口给出 \(R_{\rm seen}\le0\)，应回到特征方程判断稳定性，不能把增长响应伪装成衰减。多个相互独立的电容通常产生多个时间常数，也不能强套一个指数。

30 秒回答

“对串联 RC 阶跃电路列 KCL：\((V_f-v_C)/R=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\)。电容电压在有限电流下连续，所以初值是 \(V_0\)；直流稳态电流为零，所以终值是 \(V_f\)。解微分方程得到 \(v_C=V_f+(V_0-V_f)e^{-t/(RC)}\)，时间常数 \(\tau=RC\)。一倍 \(\tau\) 后误差剩 36.8%，也就是完成 63.2% 的总变化。”

第二遍：90 秒回答

“我先定电容电压上正下负、电流流入正端。切换后 KCL 是 \((V_f-v_C)/R=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\)。令 \(x=v_C-V_f\)，就得到 \(\mathrm dx/\mathrm dt=-x/(RC)\)，分离变量积分后有 \(x(t)=x(0^+)e^{-t/(RC)}\)。有限电流不能让电容电压跳变，因此 \(x(0^+)=V_0-V_f\)，最终得到统一式。\(\tau=RC\) 的量纲是秒；在 \(t=\tau\) 时误差剩 \(e^{-1}=36.8\%\)，即完成 63.2%。我会用 \(t=0^+\)、\(t=\tau\)、\(t\to\infty\) 三点检查。增大 \(R\) 或 \(C\) 只让理想响应变慢，不改变给定源下的初终值；增大阶跃幅度会同比增大响应和电流幅度，但不改 \(\tau\)。若有多个储能元件、非线性或寄生参数，则单指数模型可能失效。”

本节练习与递进追问

1. 已知 \(R=10\ \mathrm{k\Omega},C=10\ \mu\mathrm F,V_0=1\ \mathrm V,V_f=6\ \mathrm V\)，只写出 \(v_C(t)\) 与 \(i_C(t)\)，并标明单位。
2. 追问一：若 \(R\) 加倍、\(C\) 减半，波形和初始电流分别怎样变？
3. 追问二：若测得电容电压瞬间出现跳变，至少给出两种解释：测量/模型遗漏与理想冲激电流各是什么？

8. 面试答题的统一框架

面对陌生电路，不要从“套哪个公式”开始。按下列顺序口述，基本能覆盖老师的连续追问：

flowchart TD
    A["1. 说假设与工作状态"] --> B["2. 画参考方向、选地"]
    B --> C["3. 选元件模型"]
    C --> D["4. 列 KCL / KVL"]
    D --> E["5. 求解并解释负号"]
    E --> F["6. 查单位、初终值和极限"]
    F --> G["7. 主动说明失效边界"]

图 1-9　口试证明链。 若时间只有 30 秒，至少完成 2、4、6；若有 90 秒，补上假设和边界。

三条特别有效的自问是：

1. 符号题： “负号是在说物理量不存在，还是实际方向与参考方向相反？”
2. 模型题： “这是元件本构关系、拓扑守恒关系，还是由二者共同推得的结果？”
3. 边界题： “若某个电阻趋零/无穷，时间趋 \(0^+/\infty\)，结论还合理吗？”

9. 概念检查表与常见错误

9.1 概念检查表

完成本章后，遮住正文逐项自测：

• 我能定义 \(i=\mathrm dq/\mathrm dt\)、\(v=\mathrm dw/\mathrm dq\)、\(p=vi\)，并说出每个符号与单位。
• 我能只凭参考方向和 \(p\) 的符号判断吸收/发出功率。
• 我能推导 \(i_C=C\,\mathrm dv_C/\mathrm dt\) 和 \(w_C=\tfrac12Cv_C^2\)。
• 我能解释电容直流稳态开路与电压连续分别需要什么条件。
• 我能用“方程不相容”和非理想极限解释理想源的禁忌连接。
• 我能从电荷守恒讲清 KCL，并说明节点不消耗电流。
• 我能按绕行方向写 KVL 的正负号，并说明时变磁通边界。
• 我能从 KCL/KVL 推出串并联、分压与分流，而不是只背公式。
• 我能完整写出图 1-7 的节点方程，并用短路/开路极限检查。
• 我知道叠加只直接用于线性电压、电流响应，受控源不能随意置零。
• 我能用同一端口说明 \(V_{\rm th}\)、\(R_{\rm th}\)、\(I_N\) 与 \(V_{\rm th}=I_NR_{\rm th}\)。
• 我能证明最大功率条件，并区分匹配时 \(\eta_{\rm Th}=50\%\) 与图 1-7 原网络 \(\eta_{\rm orig}=33.6\%\) 的不同核算边界；不会漏算其中的 \(1\ \mathrm{mA}\) 独立电流源。
• 我能从 KCL 推导 RC 统一式，并做 \(0^+,\tau,\infty\) 三点检查。

9.2 常见错误表

常见说法或做法	为什么错	修正动作
“电流在电阻或节点里被用掉了”	被转化的是能量；集总节点满足电荷守恒	对节点标流入/流出并列 KCL
“负电流不可能”	箭头是参考方向，不是预言	口述“实际方向与箭头相反”
“KVL 要把所有电压写成正数”	KVL 是沿指定方向的代数和	每跨一个元件写清是升还是降
“任何回路电势差之和都无条件为零”	未建模时变磁通会产生感应电动势	把感应项纳入模型或改用场描述
“电容稳态开路，所以两端是 0 V”	开路约束是 \(i=0\)，不是 \(v=0\)	用终值电路另求电容电压
“电容电压绝对不能跳变”	连续性以电流有限为前提	检查是否出现冲激或模型奇异
“两个电阻画在一条线上就是串联”	中间节点若有第三支路，电流不相同	按节点拓扑判断
“分压公式永远可用”	分压点加载会改变下臂等效电阻	先合并负载再分压
“叠加后把各源的功率相加”	功率是电压/电流的二次量	先叠加 \(v\) 或 \(i\)，再算总功率
“求 \(R_{\rm th}\) 时所有源都关掉”	受控源不是独立激励	保留受控源并加测试源
“最大功率点就是最高效率点”	匹配时仅有抽象戴维南发生器的 \(\eta_{\rm Th}=50\%\)；原网络还可能有静态支路功耗	明确效率分母，分别计算 \(\eta_{\rm Th}\) 与 \(\eta_{\rm orig}\)
“一倍 \(\tau\) 后电压一定是终值的 63.2%”	63.2% 指完成初值到终值的变化比例	写统一式再代 \(t=\tau\)

10. 章末练习：使用带图题库

本章题面统一放在练习题 C-01～C-12，依赖参考方向、等效网络或 RC 波形的题已把图放在题面旁。正文不再复制一套纯文字题目，以免题号、数据和图号分叉。

作答顺序

先独立写出参考方向、模型、第一条 KCL/KVL 和自检，再打开详细解答 C-01～C-12。只对数值、没有说明负号与边界，不算过关。

完成 P0 后再进入第 2 章。