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第 5 章　运算放大器

运算放大器（op amp）把一个很小的差分输入电压放大，再借外部反馈网络把“难以直接使用的巨大开环增益”变成稳定、可计算的闭环功能。本章的主线不是背电路，而是每次都回答三件事：反馈方向是否为负、线性假设是否自洽、实际输出是否越过器件边界。

冲刺必会

先完成所有 P0：写清 \(v_d=v_+-v_-\)，判断反馈极性与输出状态，再决定能否使用“虚断、虚短”；用 KCL 推导反相、同相和四类功能电路；最后检查电源轨、共模范围、输出电流、压摆率与带宽。公式成立必须同时满足负反馈、线性未饱和和器件限制。

面试加分

不要开口就说“虚短虚断”。先说：“这是高输入电阻、很大但有限开环增益的模型；当前负反馈且输出在线性区，所以输入电流很小，\(v_d=v_o/A\) 也很小。”再列 KCL、解闭环增益、验边界。这条证据链经得住追问。

考后深入

本章只用单极点/增益带宽积和压摆率给出频率方向判断，并推导一次有限 \(A\) 误差。环路增益、相位裕度、稳定性、噪声积分和完整频率响应留到第 6 章；此处只建立接口。

第一次阅读：先判状态，再列 KCL

每张运放图先做三问：输出变化经反馈会减小还是增大误差？候选输出是否在线性范围？输入共模和输出电流是否允许？三问通过后才使用虚断、虚短。P0 第一遍掌握反相、同相、跟随、求和、差分、比较器和施密特触发器；积分、微分与系统非理想建模明确放到 P1 第二遍。

1. 章节地图、学习结果、前置知识与双轨路线

前置知识是第 1 章的参考方向、KCL/KVL、戴维南等效和 RC 初值，第 2 章的导通/限幅状态判断，第 3 章与第 4 章的有源器件、电源供能、端口电阻、线性区和削顶。这里不再把电源画成“可有可无”的装饰：运放是有源器件，输出送给负载的能量来自正、负电源轨，输入信号只控制能量传递。

flowchart TD
    A["差分输入与开环模型"] --> B["反馈极性与输出状态"]
    B --> C["虚断 / 虚短是否可用"]
    C --> D["反相 / 同相 / 跟随器"]
    D --> E["求和 / 差分 / 积分 / 微分"]
    E --> F["比较器 / 施密特触发器"]
    F --> G["电源轨、GBW、SR、失调与电流边界"]
    G --> H["30 秒结论—理由—边界"]

图 5-1　运放章节的判断链。 每次先判反馈与状态，再选模型；箭头不是可以倒背的公式目录。

运算放大器的同相端、反相端、正负供电、输出端和对地负载均完整画出；差分输入定义为同相端电压减反相端电压。

图 5-2　带供电、输入符号和负载返回的运放符号。 “+”表示同相端，“−”表示反相端，不代表这两个引脚恒为正、负电压。

学完后，你应当能够：

  1. 定义 \(v_d=v_+-v_-\) 与 \(v_o=A(v_+-v_-)\)，解释输出能量和饱和电平；
  2. 从输入电阻与有限 \(v_o/A\) 分别推导虚断、虚短，并列出全部使用条件；
  3. 用 KCL 推导反相、同相、跟随器及其端口特征，完成有限 \(A\) 与实际边界检查；
  4. 从完整电路推导求和、差分、积分、微分功能，说明初值和实用修正；
  5. 区分线性运放与比较器，推导指定反相施密特触发器的上下阈值；
  6. 判断有限直流增益、GBW、压摆率、失调、偏置电流、CMRR、共模范围、输出摆幅/电流如何改变结果；
  7. 用 30 秒和 90 秒两种长度回答高频面试题，并应对“何时失效”的递进追问。
路线 阅读范围 一个月备考动作
第一遍 P0 的开环模型、反馈判据、反相/同相/跟随、求和/差分、比较器、施密特，30 秒回答，以及 O-01～O-14 中标为 P0 的题 7～9 小时，分 4～5 次；每题写“反馈—状态—KCL—边界”
完整掌握 P1 积分/微分/非理想、90 秒回答、有限 \(A\)、匹配/CMRR 与全部追问 合计约 14～18 小时；以陌生连接能先判状态再列 KCL 为准

建议顺序：检查点 A 学模型、判据、反相/同相/跟随器；检查点 B 学四种功能电路；检查点 C 学比较器、施密特触发器、非理想、口述与练习。可在运放反馈实验中先按电阻比口算理想增益，再只改开环增益或电源轨，比较有限 \(A\) 误差与削顶是否符合预测。

2. P0：开环模型、电源轨与输出状态

第一次阅读：先算候选输出，再限幅

用 \(v_o=A(v_+-v_-)\) 求的是线性候选值，不是不受限制的实际输出。第一遍只掌握差模极性、开环大增益和电源轨限幅三件事。

2.1 假设 → 模型 → 变量与参考

先把“理想”拆成数学假设。理想运放有

\[ A\to\infty,\qquad R_{in}\to\infty,\qquad R_{out}\to0, \]

并假设带宽无限、压摆率无限、输出电压/电流不受限。这只是便于推导的数学抽象，不是实体器件。开环线性式为

\[ \boxed{v_d=v_+-v_-,\qquad v_o=A(v_+-v_-)}. \]

\(A\) 是无量纲差模开环电压增益。电压均相对公共地；\(v_o>0\) 表示输出节点高于地。若 \(A=2.0\times10^5\)，只需 \(v_d=50\ \mu\mathrm V\)，线性式就要求 \(v_o=10.0\ \mathrm V\)。因此没有负反馈限制 \(v_d\) 时，开环通常迅速到达饱和。

输出电源轨是供电端的电位，例如 \(+V_{CC}=+12\ \mathrm V\)、\(-V_{EE}=-12\ \mathrm V\)。实际输出通常不能正好到达电源轨，数据手册会在给定负载下给出高、低输出极限 \(V_{OH},V_{OL}\)。当线性式要求的输出超过可用范围，实际输出停在相应极限附近，称为输出饱和：

\[ v_o\approx \begin{cases} V_{OH},&A v_d>V_{OH},\\ A v_d,&V_{OL}\le A v_d\le V_{OH},\\ V_{OL},&A v_d<V_{OL}. \end{cases} \]

这里 \(V_{OH}\)、\(V_{OL}\) 依赖电源、负载、电流和器件，不要机械写成 \(\pm V_{CC}\)。

运放开环传输中央只有极窄的线性区，斜率为开环增益A；两端分别饱和在VOH和VOL。

图 5-3　有限电源下的开环传输。 中央斜率为 \(A\)，两端由输出极限钳住；这是开环常作比较器而不作线性放大的原因。

运放差分输入只控制输出级，负载电流和功率由正负电源提供。

图 5-4　信号控制与能量路径。 运放输入端是控制口，电源与输出级才构成功率路径。

2.2 KCL/KVL、求解、单位与极限

开环输入端若等效电阻为 \(R_{in}\)，输入回路 KVL 为 \(v_+-v_--i_dR_{in}=0\)，故差模电流量级 \(i_d=v_d/R_{in}\)；\(R_{in}\to\infty\) 时 \(i_d\to0\)。输出端用戴维南模型可画成受控源 \(Av_d\) 串联 \(R_{out}\)。接地负载 \(R_L\) 时，输出回路 KVL 与节点 KCL 分别为

\[ Av_d-i_oR_{out}-v_o=0, \qquad i_o=\frac{v_o}{R_L}, \]

所以尚未碰轨时 \(v_o=Av_dR_L/(R_{out}+R_L)\)；\(R_{out}\to0\) 时，在电流能力无限的理想抽象中，负载不会引起输出分压。

对上例 \(A=2.0\times10^5,V_{OH}=+10.5\ \mathrm V,V_{OL}=-10.0\ \mathrm V\)：

  • \(v_+=1.00005\ \mathrm V,v_-=1.00000\ \mathrm V\)，故 \(v_d=+50\ \mu\mathrm V\)，线性要求 \(+10.0\ \mathrm V\)，仍在范围内；
  • 若 \(v_d=+80\ \mu\mathrm V\)，线性要求 \(+16\ \mathrm V\)，实际约为 \(+10.5\ \mathrm V\)，已饱和；
  • 若 \(v_d=-60\ \mu\mathrm V\)，线性要求 \(-12\ \mathrm V\)，实际约为 \(-10.0\ \mathrm V\)，已饱和。

单位检查：\(A\) 无量纲，\(A\times\mathrm V=\mathrm V\)；\(v_d\) 常为 \(\mu\mathrm V\) 或 \(\mathrm{mV}\)，但输出用 V。极限 \(A\to\infty\) 不能与“任意有限 \(v_d\) 仍线性”同时成立；恰恰相反，有限输出下必须有 \(v_d=v_o/A\to0\)。

第二遍：适用边界

分段饱和模型只描述静态主趋势。它没有覆盖输入共模范围、输入保护、电源电流、输出短路保护、饱和恢复、频率相移和压摆率。开环状态不得用闭环“虚短”替代 \(v_o=A v_d\) 与饱和判断。

30 秒回答

“运放先按差分受控源理解：\(v_d=v_+-v_-\)，线性开环输出 \(v_o=Av_d\)。它必须供电，负载能量来自电源轨。因为 \(A\) 很大，开环只需几十微伏差分输入就可能要求数伏输出；超过 \(V_{OH},V_{OL}\) 后实际输出饱和，所以开环通常不适合线性放大。”

第二遍：90 秒回答

“我先定义参考：\(v_+,v_-,v_o\) 都对地，\(v_d=v_+-v_-\)。理想模型令 \(A\to\infty,R_{in}\to\infty,R_{out}\to0\)，还抽象掉带宽、输出摆幅和电流限制。实体运放由电源供能，输出只能在负载条件规定的 \(V_{OL}\) 到 \(V_{OH}\) 内近似线性。比如 \(A=2\times10^5\) 时，\(50\ \mu\mathrm V\) 已对应 \(10\ \mathrm V\)；再增大就会饱和。因此理想式是分析工具，必须在最后回查电源轨、共模、电流、压摆率和带宽。”

本节练习与递进追问

  1. 某运放 \(A=1.5\times10^5,V_{OH}=+11.0\ \mathrm V,V_{OL}=-10.2\ \mathrm V\)，分别判断 \(v_d=+40\ \mu\mathrm V,+100\ \mu\mathrm V,-90\ \mu\mathrm V\) 的输出状态。
  2. 追问一：若输入电流近似为零，负载功率从哪里来？追问二：为什么“理想输出不限幅”不能用于实物饱和判断？

3. P0：虚断、虚短与负反馈判据

第一次阅读：把两个“虚”分开

虚断来自高输入阻抗，虚短还需要负反馈、足够环路增益和线性状态。第一遍对每张图先做反馈极性与候选输出检查，通过后才写 \(v_+\approx v_-\)。

3.1 两条近似来自不同理由

上部从求差、开环增益和反馈网络说明负反馈如何压小误差；下部对比反相与同相放大器的接法、虚短条件和闭环增益。

先沿反馈环判断返回量是否减小误差，再谈虚短；反相和同相公式都建立在负反馈、线性区和足够大环路增益之上。

虚断来自很高的输入电阻。若输入引脚电流定义为流入运放，则

\[ i_+\approx0,\qquad i_-\approx0. \]

若先用一只 \(R_{in}\) 表示两输入间的简化差模端口，输入回路 KVL 为 \(v_+-v_--i_dR_{in}=0\)；在外部两个输入节点分别写 KCL，流向运放输入模型的电流随 \(R_{in}\to\infty\) 而趋零。这就是“虚断”的电路方程来源。“虚断”表示输入端近似不取电流，不是引脚真的悬空；外部电阻、信号源和反馈网络仍然有完整电流返回路径。实体运放还存在偏置电流。

虚短来自很大的有限开环增益与有限输出：

\[ v_d=v_+-v_- = \frac{v_o}{A}\approx0 \quad\Rightarrow\quad v_+\approx v_-. \]

它还要求电路处于负反馈、闭环线性、未饱和状态。“虚短”只表示差分电压很小；两个输入端没有物理短路，也没有由此形成的电流通道。

若输出上升使反相输入上升，则差分输入下降，运放驱动输出回落并抵消原扰动。

图 5-5　反相端取样的负反馈方向检查。 不要只凭“接到 − 端”判定；要沿扰动走一圈，看返回变化是否抵消原变化。

输出回送同相端时，输出上升令差分输入增加，运放进一步推高输出，形成状态翻转而非线性虚短。

图 5-6　正反馈的自增强方向。 输入最终是否接“−”端并不改变这条输出回送到“+”端的正反馈性质。

3.2 状态判定：先求候选解，再验自洽

使用虚短的可靠顺序是：

  1. 画出电源轨、输入正负号、反馈路径和地返回；
  2. 用“\(v_o\) 微升/微降”测试反馈方向；
  3. 暂按线性负反馈求候选闭环解；
  4. 检查候选 \(v_o\) 是否在输出摆幅内，\(v_+,v_-\) 是否在输入共模范围内，输出电流、频率和 \(dv_o/dt\) 是否可实现；
  5. 全部通过才保留 \(v_+\approx v_-\)；否则回到饱和/动态模型。
状态问题：“能用虚短吗？” 结论 快速检查
反相放大器，反馈完好，候选 \(v_o=-2\ \mathrm V\)，允许范围 \([-10,+10]\ \mathrm V\) 能 负反馈且线性解在轨内；仍需验共模/电流/频率
同相放大器要求 \(v_o=+15\ \mathrm V\)，但 \(V_{OH}=+11\ \mathrm V\) 不能 输出已正饱和，实际 \(v_d\) 不再由 \(v_o/A\) 的闭环小误差决定
开环比较器，\(v_+=10\ \mathrm{mV},v_-=0\) 不能 没有负反馈，输出趋向 \(V_{OH}\)
反相施密特触发器，输出回送同相端 不能 正反馈形成滞回，输入交叉阈值时翻转
负反馈放大器，正弦频率远超闭环带宽 通常不能按静态虚短 \(A(j\omega)\) 已下降且有相位，\(v_d\) 不能忽略
负反馈电路正在压摆率限制或输出限流 不能用于瞬时求解 输出级跟不上所需 \(dv_o/dt\) 或电流，线性闭环关系失效

表 5-1　六个虚短状态判断。 “反馈存在”不等于“虚短成立”；反馈极性和工作状态缺一不可。

虚断表示输入引脚电流近似为零而外部电阻电流仍经反馈返回；虚短表示特定负反馈线性状态下两输入电位近似相等，但两端没有导线相连。

图 5-7　“虚断”与“虚短”不能望文生义。 前者是输入电流近似，后者是特定闭环状态下的差分电压近似。

3.3 单位、极限与失败模式

若 \(A=2.0\times10^5\) 且闭环输出 \(v_o=4.0\ \mathrm V\)，则 \(v_d=20\ \mu\mathrm V\)，并非严格为零。若差模输入电阻 \(R_{in}=2\ \mathrm{M\Omega}\)，对应差模电流量级 \(10\ \mathrm{pA}\)；实体输入偏置电流可能另有更大值，不能混为一项。

常见失败模式是：正反馈仍硬令 \(v_+=v_-\)；已饱和仍按电阻比算输出；把两个输入端画成导线；忽略高频 \(A\) 下降、压摆率、输出限流；或只看电路中有一根线从输出返回便宣称“负反馈”。

第二遍：适用边界

虚断在低频主要由输入电阻/偏置电流精度决定；虚短则是更严格的状态近似，只在高环路增益、负反馈、线性未饱和时适用。比较器/开环、正反馈、输出饱和、高频、压摆率限制和电流限制都是明确反例。

30 秒回答

“虚断来自高输入电阻，所以 \(i_+,i_-\approx0\)；虚短来自 \(v_d=v_o/A\)，在 \(A\) 很大而输出有限时才有 \(v_+\approx v_-\)。虚短还必须先证明是负反馈并且线性未饱和。它不是物理短路；比较器、正反馈、饱和、高频、压摆率或限流状态都不能直接套用。”

第二遍：90 秒回答

“我会分开证明两条近似。输入电流由输入电阻模型决定，\(R_{in}\) 很大给出虚断；差分电压由开环关系决定，\(v_d=v_o/A\)，只有负反馈能把输出变化送回去抵消输入误差，而候选输出还必须在摆幅、共模、电流、SR 与带宽范围内，才可把 \(v_d\) 近似为零。判断反馈时我假设 \(v_o\) 上升，若回送使 \(v_d\) 降低就是负反馈。任何检查失败，就回到有限增益、饱和或动态模型，而不是继续强迫两输入等电位。”

本节练习与递进追问

  1. 对“输出经电阻回到同相端、输入接反相端”的电路，用输出微升法判反馈方向，并说明为何不能用虚短。
  2. 追问一：虚断能否推出 \(v_+=v_-\)？追问二：负反馈但输出饱和时，哪一步假设失效？

4. P0：反相放大器——KCL 主模板

第一次阅读：只守住一个求和节点

先标出 \(v_-\) 节点的两条电阻电流，再用虚断写 KCL；负号应从方程中出现。第一遍先得到理想闭环增益并做输出轨/电流检查，有限 \(A\) 精确误差后读。

4.1 完整电路、假设与参考量

输入经电阻接到反相端，同相端接地，反馈电阻从输出返回反相端；负载由输出端接地。

图 5-8　反相放大器的完整连接。 \(R_{in}\) 是外接输入电阻；不要和运放自身极高的差模输入电阻混称。

假设：低频或中频、负反馈、高环路增益、候选输出未饱和；输入共模、输出电流、压摆率和带宽均通过检查；暂取理想输入和输出端。变量定义：\(i_i=(v_i-v_-)/R_{in}\) 向右，\(i_f=(v_--v_o)/R_f\) 从求和节点流向输出。

负反馈方向：若 \(v_o\) 上升，经 \(R_f\) 使 \(v_-\) 上升，\(v_d=0-v_-\) 下降，运放把 \(v_o\) 拉低，故是负反馈。于是线性状态可用 \(v_-\approx v_+=0\)；这个节点称虚地，它电位近似为地但没有直接接地，且能通过外部电阻传输电流。

4.2 KCL → 求解 → 单位与极限

在 \(v_-\) 写 KCL，因 \(i_-\approx0\)：

\[ \frac{v_i-v_-}{R_{in}} =\frac{v_--v_o}{R_f}. \]

代入 \(v_-\approx0\)：

\[ \frac{v_i}{R_{in}}=-\frac{v_o}{R_f} \quad\Rightarrow\quad \boxed{A_v=\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_f}{R_{in}}}. \]

负号表示对同一地参考反相。电阻比无量纲，所以电压增益无量纲；\(v_i/R_{in}\) 与 \(-v_o/R_f\) 都是 A。极限 \(R_f\to0\) 会逼近零增益，但实际会令输出直接钳求和节点；\(R_{in}\to0\) 会要求过大电流，因此不能把公式极限当作可制造电路。

输入与输出使用同一时间轴；反相放大器输出相对输入旋转一百八十度，幅值按闭环电阻比放大。

图 5-9　反相输出波形。 图形只在输出未削顶、频率与斜率均可实现时成立。

4.3 端口电阻与有限开环增益修正

从信号源端“看入”图 5-8，在理想闭环状态 \(v_-\approx0\)，故 \(i_i=v_i/R_{in}\)，外部闭环输入电阻

\[ R_{in,cl}=\frac{v_i}{i_i}\approx R_{in}. \]

这不表示运放引脚本身只有 \(R_{in}\)；引脚输入电阻仍很高，信号源看到的是外接电阻通向虚地的效果。求输出电阻时应令独立输入 \(v_i=0\)、移除 \(R_L\)、保留反馈与受控源，在输出加测试源；理想运放 \(R_{out}=0\)，故理想闭环输出电阻也是 \(0\)。实体运放的闭环输出电阻约被环路增益降低，而且随频率上升，不等于“看见 \(R_f\) 就是 \(R_f\)”。

深入轨保留有限 \(A\)。因为 \(v_+=0\)，有

\[ v_-=-\frac{v_o}{A}. \]

仍在求和节点写同一条 KCL并代入：

\[ \frac{v_i+v_o/A}{R_{in}} =\frac{-v_o/A-v_o}{R_f}, \]

整理得

\[ \boxed{ \frac{v_o}{v_i} =-\frac{R_f}{R_{in}+(R_f+R_{in})/A} =-\frac{R_f/R_{in}}{1+(1+R_f/R_{in})/A} }. \]

有限 \(A>0\) 使增益幅值小于理想值；相对误差一阶约为“噪声增益”\((1+R_f/R_{in})/A\)。这里的噪声增益是从运放等效输入误差到输出的闭环倍数 \(1+R_f/R_{in}\)，不同于信号增益 \(-R_f/R_{in}\)。若 \(R_f/R_{in}=4.7,A=10^5\)，精确增益为

\[ -\frac{4.7}{1+5.7\times10^{-5}}=-4.69973, \]

幅值相对理想值低约 \(0.00570\%\)。

独立输入已置零、负载已移除，反馈网络保留；输出端接入对地测试电流源，以测试电压除以注入电流定义闭环输出电阻。

图 5-10　反相闭环输出电阻的端口定义。 测量条件比“低输出电阻”这句话更重要。

4.4 完整数值例题与六项检查

取 \(R_{in}=10.0\ \mathrm{k\Omega},R_f=47.0\ \mathrm{k\Omega},R_L=10.0\ \mathrm{k\Omega}\)，供电 \(\pm12\ \mathrm V\)；数据手册条件下 \(V_{OH}=+10.5\ \mathrm V,V_{OL}=-10.5\ \mathrm V\)，输入共模范围 \([-10,+10]\ \mathrm V\)，最大线性输出电流 \(10\ \mathrm{mA}\)，GBW \(=1.0\ \mathrm{MHz}\)，SR \(=0.50\ \mathrm{V/\mu s}\)。输入为 \(v_i(t)=1.50\sin(2\pi\cdot5.00\ \mathrm{kHz}\,t)\ \mathrm V\)，忽略失调和偏置电流。

  1. 理想候选输出峰值：\(V_{op}=4.7(1.50)=7.05\ \mathrm V\)，极性反相。
  2. 轨检查：\([-7.05,+7.05]\ \mathrm V\subset[-10.5,+10.5]\ \mathrm V\)，通过。
  3. 共模检查：两输入约为 \(0\ \mathrm V\)，在 \([-10,+10]\ \mathrm V\) 内。
  4. 输出电流峰值：负载支路 \(7.05/10.0\ \mathrm{k\Omega}=0.705\ \mathrm{mA}\)，反馈支路 \(7.05/47.0\ \mathrm{k\Omega}=0.150\ \mathrm{mA}\)；最坏合计幅值约 \(0.855\ \mathrm{mA}<10\ \mathrm{mA}\)。
  5. 带宽检查：噪声增益 \(1+47/10=5.7\)，一阶闭环带宽约 \(1.0\ \mathrm{MHz}/5.7=175\ \mathrm{kHz}\)，\(5.00\ \mathrm{kHz}\) 远低于它。
  6. 压摆率检查：正弦所需最大斜率 \(2\pi fV_{op}=2\pi(5.00\ \mathrm{kHz})(7.05\ \mathrm V)=0.221\ \mathrm{V/\mu s}<0.50\ \mathrm{V/\mu s}\)。

所以本例在所列模型下自洽。若只把频率改为 \(20.0\ \mathrm{kHz}\)，所需 SR 为 \(0.886\ \mathrm{V/\mu s}\)，即使幅值未碰电源轨也会发生压摆率失真。

第二遍：适用边界

公式 \(-R_f/R_{in}\) 只适用于闭环解通过电源轨、输入共模、输出电流、压摆率和带宽检查的线性负反馈状态。电阻很大时偏置电流/噪声误差上升；电阻很小时信号源与输出负担加重。高频细节见下一章。

30 秒回答

“反相电路的输出经 \(R_f\) 回到反相端，输出上升会令 \(v_-\) 上升并使 \(v_d\) 降低，所以是负反馈。线性未饱和时 \(v_-\approx v_+=0\) 且输入电流近零。在求和节点写 \((v_i-v_-)/R_{in}=(v_--v_o)/R_f\)，得 \(v_o/v_i=-R_f/R_{in}\)。信号源看入约为 \(R_{in}\)；最后要查轨、共模、电流、SR 和 GBW。”

第二遍：90 秒回答

“我先画完整供电和返回，定义电流从输入经 \(R_{in}\) 流向求和节点，再经 \(R_f\) 返回输出。输出微升通过 \(R_f\) 使反相端升高，故负反馈。虚断给出输入引脚不分流，虚短给出求和节点近似零伏，KCL 直接得到反相增益。有限 \(A\) 时 \(v_-=-v_o/A\)，精确增益是 \(-(R_f/R_{in})/[1+(1+R_f/R_{in})/A]\)，所以误差由噪声增益除以 \(A\) 控制。端口上，信号源看到外接 \(R_{in}\)，实体闭环输出电阻被环路增益降低。理想结果只有在全部大信号与动态边界内才成立。”

本节练习与递进追问

  1. \(R_{in}=12\ \mathrm{k\Omega},R_f=68\ \mathrm{k\Omega},v_i=1.8\ \mathrm V\)，供电 \(\pm9\ \mathrm V\) 且输出只能到 \(\pm7.5\ \mathrm V\)；先求候选值，再判断能否用虚短保留该值。
  2. 追问一：为什么反相电路“运放引脚高阻”与“信号源看到 \(R_{in}\)”不矛盾？追问二：有限 \(A\) 为什么使闭环增益幅值略小？

5. P0：同相放大器与电压跟随器

第一次阅读：从反馈分压反推输出

在线性负反馈下，先令反馈分压节点追踪 \(v_i\)，再解出为此所需的 \(v_o\)。跟随器的重点是隔离源和负载，不是“增益等于 1 所以没有作用”。

5.1 完整电路、反馈分压与 KCL

输入直接连接同相端；输出经反馈电阻回到反相端，反相端再经接地电阻接地。负载从输出节点接地。

图 5-11　同相放大器的完整连接。 输出直接控制分压节点 \(v_-\)；正、负供电和负载返回不可省略。

假设与反相电路相同：低/中频、负反馈、高环路增益、线性未饱和且通过全部边界。若 \(v_o\) 上升，分压使 \(v_-\) 上升，\(v_d=v_i-v_-\) 下降，故为负反馈。

输入引脚近似不取电流，反馈分压节点 KCL 为

\[ \frac{v_o-v_-}{R_f}=\frac{v_-}{R_g}. \]

因此

\[ v_-=\frac{R_g}{R_f+R_g}v_o\equiv\beta v_o. \]

线性状态 \(v_-\approx v_+=v_i\)，所以

\[ \boxed{\frac{v_o}{v_i}=\frac1\beta=1+\frac{R_f}{R_g}}. \]

也可把 \(v_-\) 代回 KCL 得到同一结果。电阻比和增益均无量纲，闭环增益不小于 1；若算出负值或小于 1，应检查拓扑或符号。

同相放大器的输入和输出阶跃沿同一方向变化，输出幅值由闭环增益决定，实际边沿受带宽和压摆率限制。

图 5-12　同相放大器的波形方向。 “同相”指相对同一参考地的极性，不代表输出必为正值。

5.2 有限开环增益 A、端口与数值检查

令 \(\beta=R_g/(R_f+R_g)\)。有限开环增益时

\[ v_o=A(v_i-\beta v_o), \]

故

\[ \boxed{\frac{v_o}{v_i}=\frac{A}{1+A\beta} =\frac{1/\beta}{1+1/(A\beta)}}. \]

当 \(A\beta\gg1\) 才趋近 \(1/\beta\)；相对误差约 \(1/(A\beta)=(1+R_f/R_g)/A\)。同相电路的信号增益恰好也等于噪声增益。

信号源从 \(v_+\) 看入的是运放输入端；理想时输入电阻无限大，实体时由输入级及反馈共同决定。输出电阻仍须按测试源法定义；理想为零，实体闭环值通常比开环输出电阻低。高输入电阻不表示信号源完全无误差：输入偏置电流和输入电容仍会与源电阻作用。

数值例：\(R_f=30.0\ \mathrm{k\Omega},R_g=10.0\ \mathrm{k\Omega},R_L=2.00\ \mathrm{k\Omega}\)，输入 \(v_i(t)=2.00\sin(2\pi\cdot10.0\ \mathrm{kHz}\,t)\ \mathrm V\)；供电 \(\pm12\ \mathrm V\)，输出范围 \(\pm10.5\ \mathrm V\)，共模范围 \([-10,+10]\ \mathrm V\)，最大线性输出电流 \(10\ \mathrm{mA}\)，GBW \(1.0\ \mathrm{MHz}\)，SR \(1.0\ \mathrm{V/\mu s}\)。

  • 候选增益 \(1+30/10=4.00\)，输出峰值 \(8.00\ \mathrm V\)，未碰轨；
  • 两输入端约随 \(v_i\) 在 \(\pm2.00\ \mathrm V\) 内，满足共模范围；
  • 负载电流峰值 \(8/2.00\ \mathrm{k\Omega}=4.00\ \mathrm{mA}\)，反馈分压链峰值 \(8/(30+10)\ \mathrm{k\Omega}=0.200\ \mathrm{mA}\)，合计约 \(4.20\ \mathrm{mA}<10\ \mathrm{mA}\)；
  • 闭环带宽一阶估计 \(1.0\ \mathrm{MHz}/4=250\ \mathrm{kHz}>10.0\ \mathrm{kHz}\)；
  • 所需 SR 为 \(2\pi(10.0\ \mathrm{kHz})(8.00\ \mathrm V)=0.503\ \mathrm{V/\mu s}<1.0\ \mathrm{V/\mu s}\)。

若只把输入峰值改为 \(3.00\ \mathrm V\)，候选输出峰值为 \(12.0\ \mathrm V\)，超过 \(10.5\ \mathrm V\)，波形削顶，不能继续用虚短声称输出等于 \(12.0\ \mathrm V\)。

5.3 跟随器：单位增益不等于没有作用

把输出直接接到反相端、信号接同相端，得到 \(\beta=1\) 的极限：

\[ \boxed{v_o\approx v_i}. \]

输入直接连接同相端，输出直接反馈到反相端，并驱动对地负载。

图 5-13　电压跟随器作为缓冲器。 “电流驱动增强”指隔离高源阻与低负载，不是允许无限输出电流。

例如 \(v_s=1.00\ \mathrm V,R_s=100\ \mathrm{k\Omega},R_L=1.00\ \mathrm{k\Omega}\)。若直接相连，负载只有 \(1.00\times1/(100+1)=9.90\ \mathrm{mV}\)；插入理想跟随器后，输入约 \(1.00\ \mathrm V\)，输出也约 \(1.00\ \mathrm V\)，运放向负载提供 \(1.00\ \mathrm{mA}\)。实际还必须确认 \(1\ \mathrm{mA}\) 在输出能力内、输入/输出接近电源轨时仍在线性范围内，并注意容性负载稳定性。

第二遍：适用边界

同相增益式与跟随关系依赖负反馈线性状态。输入电压虽不经外接串联电阻，仍受共模范围约束；输出仍受摆幅、电流、负载电容、GBW 与 SR 限制。电压跟随器改善的是端口隔离和负载驱动，不产生能量，也不保证所有运放在任意容性负载下稳定。

30 秒回答

“同相电路由 \(R_f,R_g\) 把输出分压到反相端。输出上升令 \(v_-\) 上升，所以是负反馈。虚断使分压不被输入引脚加载，\(v_-=v_oR_g/(R_f+R_g)\)；线性虚短令 \(v_-=v_i\)，于是增益 \(1+R_f/R_g\)。输出直连反相端时 \(\beta=1\)，成为电压跟随器，用高输入、低输出端口隔离信号源和负载。”

第二遍：90 秒回答

“先在反馈分压点写 KCL，得 \(v_-=\beta v_o\)，其中 \(\beta=R_g/(R_f+R_g)\)。确认负反馈并通过边界后，\(v_-\approx v_i\)，所以 \(v_o/v_i=1/\beta=1+R_f/R_g\)。有限 \(A\) 的精确式是 \(A/(1+A\beta)\)，表明闭环准确性的关键是环路增益 \(A\beta\)。跟随器是 \(\beta=1\)，电压增益近 1，却能让高源阻几乎不带载，同时由电源和输出级向低阻负载供电流；它仍受共模、输出摆幅/电流、SR、GBW 和稳定性限制。”

本节练习与递进追问

  1. \(R_f=22\ \mathrm{k\Omega},R_g=10\ \mathrm{k\Omega},v_i=2.5\ \mathrm V\)，输出范围 \([-8,+8]\ \mathrm V\)，求候选输出并判断状态；再说明若 \(R_L=500\ \Omega\) 还应查什么。
  2. 追问一：跟随器电压增益约为 1，为何仍能“增强驱动”？追问二：同相端源电阻很大时，哪两个输入非理想会更值得关注？

6. P0：反相求和器——在一个节点做加权

第一次阅读：把每路输入写成一项电流

每个输入经自己的电阻向同一求和节点送入电流，反馈支路提供平衡。第一遍只要会逐项写 KCL，并在求和后重新检查输出是否饱和。

6.1 功能、完整电路与 KCL

求和器把多个输入按电阻比加权并反相，常用于模拟加法、偏置注入与数模接口。所有输入电压均对同一地参考。

三个输入分别经 R1、R2 和 R3 汇入反相求和节点；反馈电阻从输出返回该节点，同相端接地。

图 5-14　三个输入的反相加权求和器。 增加输入必须增加独立电阻，不能把理想电压源直接并联。

假设：理想输入端、负反馈、低/中频、输出线性未饱和，且所有源/负载与器件边界允许。定义 \(i_k=(v_k-v_-)/R_k\) 流入求和节点，\(i_f=(v_--v_o)/R_f\) 流出节点。虚断给出求和节点没有输入引脚分流，KCL 为

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{v_k-v_-}{R_k} =\frac{v_--v_o}{R_f}. \]

虚短给出 \(v_-\approx0\)，于是

\[ \boxed{v_o=-R_f\sum_{k=1}^{n}\frac{v_k}{R_k}}. \]

若所有 \(R_k=R\)，则 \(v_o=-(R_f/R)(v_1+\cdots+v_n)\)。每项 \(v_k/R_k\) 的单位是 A，乘 \(R_f\) 得 V。纯电阻求和器是无记忆电路，无电容/电感初值；若源本身带动态，则其初态属于源而非此网络。

6.2 数值、极限、实用误差与失败模式

取 \(R_f=20.0\ \mathrm{k\Omega}\)，\(R_1=10.0\ \mathrm{k\Omega},R_2=20.0\ \mathrm{k\Omega},R_3=40.0\ \mathrm{k\Omega}\)；\(v_1=+0.300\ \mathrm V,v_2=-0.400\ \mathrm V,v_3=+1.00\ \mathrm V\)，输出范围 \(\pm4.0\ \mathrm V\)。三支路电流分别为 \(+30.0,-20.0,+25.0\ \mu\mathrm A\)，代数和 \(+35.0\ \mu\mathrm A\)，故反馈电流为 \(35.0\ \mu\mathrm A\)，

\[ v_o=-(20.0\ \mathrm{k\Omega})(35.0\ \mu\mathrm A)=-0.700\ \mathrm V, \]

在轨内。若把 \(v_1\) 改为 \(3.00\ \mathrm V\)，候选输出变为 \(-6.10\ \mathrm V\)，超过负向范围，实际饱和，虚短解失效。

三个输入在线性区分别乘负权重后相加；任何一路使总候选输出越轨，整个输出一起饱和。

图 5-15　求和器的权重与共同饱和边界。 叠加只对线性系统成立；饱和后不能分别求贡献再相加。

电阻误差直接变成权重误差；电阻过大时偏置电流与热噪声增大，过小时输入源和运放输出电流加重。输入数量增加也提高等效噪声增益、寄生电容影响和饱和概率。

面试一句话：“我不背求和式，而是在虚地节点列 KCL；每个 \(v_k/R_k\) 是一股电流，反馈电阻把电流总和转换为反相输出。”

第二遍：适用边界

只有所有输入共同作用后的候选输出在线性区，且共模、输出电流、SR 与带宽均合格时，才能使用叠加和虚短。某输入源若不能驱动其 \(R_k\)，还要把源内阻并入计算。

30 秒回答

“反相求和器把多个输入各经一个电阻送到虚地求和节点。输入引脚不分流，所以 KCL 给出 \(\sum v_k/R_k=-v_o/R_f\)，即 \(v_o=-R_f\sum v_k/R_k\)。电阻比决定权重；最后用所有项的代数和检查输出轨与电流。”

第二遍：90 秒回答

“先确认输出经 \(R_f\) 回反相端形成负反馈，且候选输出未饱和。定义每个支路电流 \((v_k-v_-)/R_k\) 流入求和点，反馈电流 \((v_--v_o)/R_f\) 流出；虚断让两者代数和守恒，虚短再令 \(v_-\approx0\)，得到加权和。电阻误差就是权重误差，偏置电流会在较大等效电阻上产生失调，频率升高还要看噪声增益和寄生。任何一路让总输出越轨后，叠加与虚短都不能继续使用。”

本节练习与递进追问

  1. 设计一个候选关系为 \(v_o=-(2v_1+0.5v_2+v_3)\) 的求和器，只写电阻比例，并列出你必须声明的输出范围与输入源条件。
  2. 追问一：为何不能把两个理想电压源直接并到求和点？追问二：一路输入令输出饱和后，能否仍用叠加定理求实际输出？

7. P0：差分放大器——匹配电阻比才抑制共模

第一次阅读：先核对四只电阻的位置

不要先背 \(v_o=k(v_2-v_1)\)；先按图辨认反相侧输入/反馈与同相侧输入/对地电阻。第一遍只处理电阻比完全匹配的情形，失配 CMRR 和共模边界第二遍再加。

7.1 功能、完整电路与推导

本节固定拓扑：\(v_1\) 经 \(R_1\) 接反相端，\(R_2\) 从输出反馈；\(v_2\) 经 \(R_3\) 接同相端，\(R_4\) 从同相端接地。目标是输出 \(v_2-v_1\) 的加权差。

v1 经 R1 连接反相端，R2 从输出反馈到反相端；v2 经 R3 连接同相端，R4 从同相端接地。

图 5-16　四电阻差分放大器的指定拓扑。 \(R_1,R_2\) 属于反相侧，\(R_3,R_4\) 属于同相分压侧。

假设：四个源/电阻相对同一地，负反馈、线性未饱和，输入电流近零。先在同相节点用分压/KCL：

\[ v_+=\frac{R_4}{R_3+R_4}v_2. \]

线性虚短令 \(v_-=v_+\)。在反相节点写 KCL：

\[ \frac{v_1-v_-}{R_1}=\frac{v_--v_o}{R_2}. \]

解得一般式

\[ v_o=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right) \frac{R_4}{R_3+R_4}v_2-\frac{R_2}{R_1}v_1. \]

只有比例严格匹配

\[ \boxed{\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_4}{R_3}=k} \]

时，才化为

\[ \boxed{v_o=k(v_2-v_1)}. \]

比例与增益无量纲。纯电阻网络没有储能初值。极限 \(v_1=v_2=v_{cm}\) 时，理想匹配给 \(v_o=0\)；这正是检验共模抑制的最快方法。

7.2 匹配、CMRR 边界与数值检查

两个输入由共同的平均值和相反的半差值组成；理想差分级只放大差模，匹配误差和有限CMRR会让共模泄漏。

图 5-17　差模与共模的分解。 电阻网络匹配和运放自身 CMRR 是两道不同边界，任一道不足都会留下共模误差。

数值例：\(R_1=10.0\ \mathrm{k\Omega},R_2=40.0\ \mathrm{k\Omega},R_3=15.0\ \mathrm{k\Omega},R_4=60.0\ \mathrm{k\Omega}\)，两侧比例都是 4；\(v_1=0.800\ \mathrm V,v_2=1.200\ \mathrm V\)。因此 \(v_+=1.200\times60/(15+60)=0.960\ \mathrm V\)，\(v_-\approx0.960\ \mathrm V\)，

\[ v_o=4(1.200-0.800)=1.600\ \mathrm V. \]

若输出范围为 \(\pm5.0\ \mathrm V\)、输入共模范围为 \([-2,+3]\ \mathrm V\)，则本例的输入节点与输出均通过静态范围检查。若把两个输入同时增加 \(+10\ \mathrm V\)，数学差仍为 \(0.400\ \mathrm V\)，但引脚共模已可能越界，不能据理想差分式宣称输出不变。

电阻“都用 1%”不等于两比值误差恰好抵消；应使用成组匹配网络或按所需 CMRR 预算比值误差。实际共模抑制比 CMRR 常以 dB 表示：同样差模信号下，CMRR 越高，共模到输出的误差越小；频率上升时一般变差。

面试一句话：“四电阻差分器要先写一般式；只有 \(R_2/R_1=R_4/R_3\) 才有 \(v_o=k(v_2-v_1)\)，而且输入共模必须在运放范围内。”

第二遍：适用边界

差分公式受电阻比匹配、运放 CMRR、输入共模范围、输入源内阻、输出摆幅和频率共同限制。若两个源内阻不同，它们会并入相应支路并破坏名义比值。需要很高输入阻抗与 CMRR 时通常采用仪表放大器结构，而不是无限提高四个电阻。

30 秒回答

“指定四电阻拓扑中，先求 \(v_+=v_2R_4/(R_3+R_4)\)，再在反相端列 KCL。一般式只有在 \(R_2/R_1=R_4/R_3=k\) 时才化为 \(v_o=k(v_2-v_1)\)。共模抑制同时受电阻比匹配和运放 CMRR 限制，输入共模越界时理想差分式失效。”

第二遍：90 秒回答

“我不会一看到四个电阻就直接写差值。先由同相分压得到 \(v_+\)，确认负反馈线性后令 \(v_-=v_+\)，再用 \((v_1-v_-)/R_1=(v_--v_o)/R_2\) 求一般式。比较 \(v_2\) 与 \(v_1\) 的系数，可得比例匹配条件 \(R_2/R_1=R_4/R_3\)。即使比值名义匹配，公差、源内阻和运放有限 CMRR 都会把共模泄漏到输出；输入引脚还必须位于共模范围内。因此差分很小而共模很大时，最先检查的不只是输出轨。”

本节练习与递进追问

  1. \(R_1=12\ \mathrm{k\Omega},R_2=36\ \mathrm{k\Omega},R_3=20\ \mathrm{k\Omega}\)，选择 \(R_4\) 使比例匹配；再对 \(v_1=1.7\ \mathrm V,v_2=2.0\ \mathrm V\) 写候选输出和共模检查项。
  2. 追问一：四只独立 1% 电阻为何可能使 CMRR 很差？追问二：输入差值很小，为什么共模越界仍会失真？

8. P1 第二遍：积分器——电容初值、直流漂移与实用泄放

进入本 P1 小节：先定电容参考方向和初值

先由电容两端电压定义得到 \(v_o(0^+)\)，再用求和节点 KCL 得到输出斜率。第二遍先算理想积分器的分段候选波形与首次撞轨，再读泄放电阻和直流漂移。

8.1 功能、完整电路、KCL 与初值

理想反相积分器用输入电阻把电压变成电流，用反馈电容积累电荷，输出与输入的时间积分成比例。

输入经电阻连接反相端，电容从输出反馈到反相端，同相端接地。

图 5-18　带电容电压参考的理想反相积分器。 初始电容电压 \(v_C(t_0)\) 不能凭空删掉。

假设：负反馈且整个观察区间内输出线性，运放输入电流为零；\(R,C\) 理想，输入连续到足以不触发动态限制。定义电容电压 \(v_C=v_--v_o\)，电流从 \(v_-\) 流向 \(v_o\) 为 \(i_C=C\,d(v_--v_o)/dt\)。求和节点 KCL：

\[ \frac{v_i-v_-}{R}=C\frac{d(v_--v_o)}{dt}. \]

用 \(v_-\approx0\) 得

\[ \frac{dv_o}{dt}=-\frac{v_i}{RC}. \]

从 \(t_0\) 积分到 \(t\)：

\[ \boxed{ v_o(t)=v_o(t_0)-\frac1{RC}\int_{t_0}^{t}v_i(\tau)\,d\tau }. \]

由于 \(v_-(t_0)\approx0\)，有 \(v_o(t_0)=-v_C(t_0)\)。\(RC\) 单位为 s，积分 \(\int v_i dt\) 为 \(\mathrm{V\cdot s}\)，除以 \(RC\) 后为 V。

8.2 波形、数值与饱和时间

反相积分器在正恒压输入期间以负一除以RC乘输入电压的斜率下降，直到触及负输出极限。

图 5-19　正恒压输入产生负斜坡。 输出初值决定斜坡从哪里开始，电源轨决定它能走多远。

取 \(R=100\ \mathrm{k\Omega},C=1.00\ \mathrm{\mu F},v_i=+0.200\ \mathrm V\)（\(t\ge0\)），\(v_o(0)=+1.00\ \mathrm V\)，输出范围 \([-10,+10]\ \mathrm V\)。\(RC=0.100\ \mathrm s\)，斜率为 \(-2.00\ \mathrm{V/s}\)，所以 \(v_o(0.300\ \mathrm s)=+0.400\ \mathrm V\)。若输入一直保持，候选输出在

\[ t=\frac{1.00-(-10.0)}{2.00}=5.50\ \mathrm s \]

到达负饱和；之后不能继续按直线外推。

8.3 直流漂移与实用积分器

真实电路的输入失调电压、偏置电流和输入直流分量即使很小，也会被持续积分，最终把输出推到某一电源轨。实用做法是在 \(C\) 两端并联 \(R_f\)，给直流提供泄放路径：

反馈电容与泄放电阻并联；泄放电阻限制直流增益，避免失调长期积分至饱和。

图 5-20　并联泄放电阻的实用积分器。 它牺牲无限直流增益来避免缓慢漂移到饱和。

并联 \(R_f\) 后是“漏积分器”：时间尺度远短于 \(R_fC\) 时近似理想积分，长时间后直流输出有限。还要检查电容漏电、介质吸收、初值复位方式、输出 SR 与轨限制。

面试一句话：“积分器必须写 \(v_o(t_0)\)；实际失调和偏置会被积到饱和，所以用并联反馈电阻限制直流增益。”

第二遍：适用边界

理想积分式只在运放线性、\(v_-\approx0\) 且电容模型有效的区间成立。初始电压、直流误差、输出轨、SR、输入/输出电流以及实用泄放电阻都会改变长时间结果。

30 秒回答

“在虚地节点，输入电流 \(v_i/R\) 全部流入反馈电容；\(v_i/R=-C\,dv_o/dt\)。因此 \(v_o(t)=v_o(t_0)-(1/RC)\int_{t_0}^t v_i d\tau\)，初值由电容原有电压决定。真实失调、偏置和直流输入会一直积累到饱和，所以常在电容并联 \(R_f\) 限制直流增益。”

第二遍：90 秒回答

“我先定义电容电压 \(v_C=v_--v_o\)，避免初值和符号混乱。负反馈线性时 \(v_-\approx0\)，KCL 是 \((v_i-v_-)/R=C\,d(v_--v_o)/dt\)，积分后必须保留 \(v_o(t_0)=-v_C(t_0)\)。常值正输入给负斜率，斜率单位是 V/s。实体积分器即使输入标称为零，也会积分失调和偏置，最终撞轨；并联 \(R_f\) 给 DC 泄放，低频变成有限增益、高一些频率才近似积分。观察时间、轨、SR 与电容非理想都要声明。”

本节练习与递进追问

  1. \(R=50\ \mathrm{k\Omega},C=2.0\ \mathrm{\mu F},v_o(0)=-1.0\ \mathrm V\)，在 \(0\le t\le0.4\ \mathrm s\) 施加 \(v_i=-0.25\ \mathrm V\)；写候选函数并根据给定 \(\pm3\ \mathrm V\) 输出范围判断是否碰轨。
  2. 追问一：输入为零时理想积分器为何仍可能有非零输出？追问二：并联 \(R_f\) 为什么能抑制 DC 漂移，却不会在合适频带完全取消积分作用？

9. P1 第二遍：微分器——边沿敏感也意味着噪声敏感

进入本 P1 小节：先把输入斜率变成电流

输入电容产生与 \(\mathrm dv_i/\mathrm dt\) 成正比的电流，反馈电阻再把它变成输出电压。第二遍先判断常值、斜坡与边沿的理想输出，然后再学为什么实用电路必须限带。

9.1 功能、完整电路与 KCL

理想反相微分器用输入电容把变化率变成电流，再由反馈电阻转换为输出电压。

输入经电容连接反相端，反馈电阻从输出返回反相端，同相端接地。

图 5-21　带电容参考的理想反相微分器。 输入必须有返回路径；实际信号源输出电阻也是电路的一部分。

假设：输入在所分析区间可微，负反馈、线性未饱和，输入电流为零，电容与电阻理想，初始电容电压与输入连续性相容。由 \(v_-\approx0\)，输入电容电流

\[ i_C=C\frac{d(v_i-v_-)}{dt}\approx C\frac{dv_i}{dt}. \]

求和节点 KCL 为

\[ C\frac{d(v_i-v_-)}{dt}=\frac{v_--v_o}{R_f}, \]

故

\[ \boxed{v_o=-R_fC\frac{dv_i}{dt}}. \]

\(R_fC\) 单位是 s，乘 \(\mathrm{V/s}\) 得 V。电容电压不能瞬间跃变；理想电压阶跃意味着无限 \(dv_i/dt\) 和冲激输出要求，实体电路只会由带宽、SR、电流与寄生限制成有限尖峰，因此阶跃点不能直接把经典导数当普通有限值。

9.2 波形、数值与高频噪声

反相微分器把三角波的正斜率映射成负恒定输出，把负斜率映射成正恒定输出；输出幅值由斜率和RfC决定。

图 5-22　三角波的斜率映射成反相方波。 输出幅值取决于斜率，不只取决于输入峰值。

取 \(R_f=10.0\ \mathrm{k\Omega},C=10.0\ \mathrm{nF}\)，\(v_i=0.100\sin(2\pi\cdot1.00\ \mathrm{kHz}\,t)\ \mathrm V\)。\(R_fC=100\ \mathrm{\mu s}\)，所以

\[ v_o=-0.100\ \mathrm{ms}\times (2\pi\cdot1000)(0.100)\cos(2\pi\cdot1000t) =-0.0628\cos(2\pi\cdot1000t)\ \mathrm V. \]

候选峰值为 \(62.8\ \mathrm{mV}\)。同样幅值的频率若增加 100 倍，理想输出也增 100 倍；高频噪声通常含很大变化率，因而被强烈放大，最终触发带宽、SR、输出电流或饱和限制。

9.3 实用带限微分器

输入电容与电阻串联；反馈电阻与反馈电容并联，以限制高频增益。

图 5-23　输入串 \(R_{in}\)、反馈并 \(C_f\) 的实用带限微分器。 两个滚降机制共同抑制高频噪声和稳定性风险。

忽略 \(C_f\) 时，输入支路 \(C\) 串 \(R_{in}\)，在 \(f\ll1/(2\pi R_{in}C)\) 才近似 \(-R_fCs\)；更高频率增益趋近 \(-R_f/R_{in}\)，不再随频率无限增长。\(C_f\) 又在约 \(1/(2\pi R_fC_f)\) 以上降低反馈阻抗。设计时让目标信号变化率位于近似微分频带内，并逐项验噪声、相位裕度、输出电流和 SR。

面试一句话：“微分器把 \(dv_i/dt\) 放大，所以边沿和高频噪声一起被放大；实际必须用输入串联电阻与反馈电容限带。”

第二遍：适用边界

理想微分式适用于可微、带限且不会把输出推入动态/幅值限制的信号区间。电容初态不相容、理想阶跃、高频噪声、源电阻、寄生与闭环稳定性都会让简单式失效。

30 秒回答

“微分器在虚地节点令输入电容电流 \(C\,dv_i/dt\) 流过 \(R_f\)，因此 \(v_o=-R_fC\,dv_i/dt\)。频率越高，同样幅值产生的输出越大，所以噪声和尖锐边沿会被放大；实用电路用输入串联电阻限制高频增益，再用反馈并联电容继续滚降。”

第二遍：90 秒回答

“我定义输入电容电压为 \(v_i-v_-\)，线性负反馈时 \(v_-\approx0\)，KCL 得 \(C\,d(v_i-v_-)/dt=(v_--v_o)/R_f\)，从而得到反相微分式。单位检查是秒乘伏每秒得到伏。理想阶跃在数学上要求冲激输出，实体运放只会出现受 GBW、SR、电流和寄生限制的尖峰；这也解释了高频噪声问题。输入串 \(R_{in}\) 使高频增益封顶在 \(R_f/R_{in}\)，反馈并 \(C_f\) 再降低高频闭环增益，目标只是有限频带近似微分。”

本节练习与递进追问

  1. \(R_f=22\ \mathrm{k\Omega},C=4.7\ \mathrm{nF}\)，输入为幅值 \(0.20\ \mathrm V\)、频率 \(2.0\ \mathrm{kHz}\) 的正弦；写候选输出表达式，并列出至少三项动态边界检查。
  2. 追问一：为何理想阶跃会暴露微分器模型的不现实？追问二：只加 \(R_{in}\) 与再加 \(C_f\) 分别抑制什么？

10. P0：比较器——先判大小，不用虚短

第一次阅读：只做状态表

比较 \(v_+\) 与 \(v_-\) 后，直接选高/低输出状态，不引入虚短。第一遍要强制写明输入相等时理想模型不能唯一决定实际状态，并检查输入范围。

10.1 比较功能、状态表与完整波形

固定使用同相比较器：待比较信号接 \(v_+\)，参考 \(V_{ref}\) 接 \(v_-\)；没有负反馈。运放/比较器按开环工作，输出只表示大小关系。

两幅比较器均以输入接同相端、参考电压接反相端且没有反馈；左图驱动对地负载，右图使用外部上拉电阻。

图 5-24　同相比较器的固定拓扑。 某些专用比较器为开集电极/开漏输出，必须加上拉；普通推挽输出则按数据手册接负载。

假设：只做低速静态状态判断；\(v_i,V_{ref}\) 在输入允许范围内，差分输入未超过额定值；忽略失调、噪声与传播延迟。开环模型 \(v_o=A(v_i-V_{ref})\) 与输出限幅给出：

从参考源经两个输入端到信号源写输入差值 KVL，\(v_d-v_i+V_{ref}=0\)；若输出用受控戴维南源且负载为 \(R_L\)，则有 \(A v_d-i_oR_{out}-v_o=0\) 与 \(i_o=v_o/R_L\)。求出的线性候选值仍必须经过 \(V_{OH},V_{OL}\) 限幅，因而得到下表。

输入条件 \(v_d=v_i-V_{ref}\) 输出状态
\(v_i>V_{ref}\) \(>0\) \(v_o\approx V_{OH}\)
\(v_i<V_{ref}\) \(<0\) \(v_o\approx V_{OL}\)
\(v_i\approx V_{ref}\) 很小且受噪声/失调影响 状态不确定或反复翻转，不能宣称恰为 \(0\)

没有闭环 KCL 可把两输入拉成相等，因此绝不能使用虚短。单位上，输入比较的是 V，输出仍是 V；逻辑接收端还必须确认 \(V_{OH},V_{OL}\) 满足其电平门限。

输入三角波高于固定参考电压时输出为高电平，低于参考时输出为低电平；交越附近的传播延迟和噪声会移动实际边沿。

图 5-25　同相比较器的阈值波形。 只有一个理想阈值时，缓慢且带噪输入会在交越附近多次翻转。

数值例：\(V_{ref}=1.20\ \mathrm V\)，供电 \(\pm5.0\ \mathrm V\)，在指定负载下 \(V_{OH}=+4.20\ \mathrm V,V_{OL}=-4.40\ \mathrm V\)。\(v_i=1.35\ \mathrm V\) 时输出趋向 \(+4.20\ \mathrm V\)；\(v_i=0.90\ \mathrm V\) 时趋向 \(-4.40\ \mathrm V\)。若 \(v_i=1.200\ \mathrm V\)，失调、噪声和历史都会影响结果，不能用理想模型给唯一状态。

10.2 比较器与线性运放不能只按符号互换

线性运放通常为闭环线性稳定而补偿，关注失调、GBW、SR、摆幅和驱动；比较器为快速越阈翻转优化，常给传播延迟、输入过驱动、迟滞和逻辑输出接口。比较器可能不适合线性负反馈；有些运放在长期饱和后恢复很慢，或不允许很大的差分输入，也未必是好比较器。选型必须查数据手册，不能只看三角形符号。

失败模式包括：用虚短得到 \(v_i=V_{ref}\)；把 \(V_{OH},V_{OL}\) 当作精确电源轨；忘记开集电极输出的上拉；输入越过共模/差模额定值；忽略饱和恢复和传播延迟；让慢噪声输入在单阈值处抖动。

第二遍：适用边界

表 5-2 是准静态理想状态表。实际切换阈值包含失调与噪声，边沿包含传播延迟，输出电平取决于负载/上拉，输入还受共模与差模范围约束。需要抗噪时使用有明确迟滞的施密特触发器。

30 秒回答

“比较器开环判断 \(v_+-v_-\) 的符号：同相比较器中 \(v_i>V_{ref}\) 输出高，反之输出低。它没有负反馈，输出通常在高低限附近，所以不能用虚短。实际还要看输入范围、失调、传播延迟、输出接口与饱和恢复。”

第二遍：90 秒回答

“我先指定拓扑，本例信号接同相端、参考接反相端。开环式 \(v_o=A(v_i-V_{ref})\) 因 \(A\) 很大而很快到 \(V_{OH}\) 或 \(V_{OL}\)，因此状态表只由差分输入符号决定，交越附近则受失调和噪声影响。这里没有负反馈，所以 \(v_+=v_-\) 不是可用条件。专用比较器和线性运放的补偿、传播延迟、饱和恢复及输出级不同；开集电极还需上拉。慢噪输入需要迟滞，不应靠理想单阈值期待干净边沿。”

本节练习与递进追问

  1. 同相比较器 \(V_{ref}=-0.50\ \mathrm V,V_{OH}=+3.3\ \mathrm V,V_{OL}=0.10\ \mathrm V\)，按 \(v_i=-0.8,-0.5,+0.2\ \mathrm V\) 分别写状态或“不确定”，不得使用虚短。
  2. 追问一：线性运放为什么未必适合做高速比较器？追问二：输入慢慢穿越阈值且叠加噪声时，怎样从拓扑上改善？

11. P0：反相施密特触发器——正反馈制造滞回

第一次阅读：按当前输出分别求两个阈值

先假定输出正饱和，由正反馈分压求翻转阈值；再对负饱和重复。第一遍用“当前状态+输入运动方向”读状态表，不把两个阈值当成同时成立。

11.1 指定拓扑与上下阈值推导

本节只讨论一个明确拓扑：输入 \(v_i\) 接反相端；输出经 \(R_1\) 接同相端，同相端再经 \(R_2\) 接参考 \(V_{ref}\)。这是反相施密特触发器，反馈送到“+”端，属于正反馈。

输入只接反相端；输出经 R1 回送同相端，同相端再经 R2 连接参考电压，形成正反馈和双阈值。

图 5-26　指定的反相施密特拓扑。 电阻编号与端点一旦改变，阈值系数也会改变，不能套别的图的公式。

假设输入电流近零，输出只有两个稳定电平 \(V_{OH}\) 与 \(V_{OL}\)；准静态输入，忽略传播延迟与失调。令

\[ \beta=\frac{R_2}{R_1+R_2}. \]

在 \(v_+\) 写 KCL：

\[ \frac{v_o-v_+}{R_1}=\frac{v_+-V_{ref}}{R_2}, \]

解得

\[ v_+=\beta v_o+(1-\beta)V_{ref}. \]

当输出当前为高电平 \(V_{OH}\)，输入上升到 \(v_i=v_+\) 时即将使 \(v_d=v_+-v_i\) 转负，输出翻到低电平。因此上阈值

\[ \boxed{V_{TH}=\beta V_{OH}+(1-\beta)V_{ref}}. \]

当输出当前为低电平 \(V_{OL}\)，输入下降到 \(v_i=v_+\) 时即将使 \(v_d\) 转正，输出翻到高电平。因此下阈值

\[ \boxed{V_{TL}=\beta V_{OL}+(1-\beta)V_{ref}}. \]

滞回宽度为

\[ \boxed{V_H=V_{TH}-V_{TL}=\beta(V_{OH}-V_{OL})}. \]

这些量的单位都是 V。若输出饱和不对称，\(V_{TH}\) 和 \(V_{TL}\) 也相对中心不对称；上式已经保留了这一点。

11.2 状态表、数值与抗噪波形

当前输出 当前阈值 输入越过方向 翻转后输出
\(V_{OH}\) \(V_{TH}\) \(v_i\) 上升并超过 \(V_{TH}\) \(V_{OL}\)
\(V_{OL}\) \(V_{TL}\) \(v_i\) 下降并低于 \(V_{TL}\) \(V_{OH}\)
任一状态 \(V_{TL}<v_i<V_{TH}\) 未越过对应阈值 保持原状态（有记忆）

取 \(R_1=30.0\ \mathrm{k\Omega}\)（输出到 \(v_+\)）、\(R_2=10.0\ \mathrm{k\Omega}\)（\(v_+\) 到 \(V_{ref}=0\)），故 \(\beta=0.250\)。若 \(V_{OH}=+4.20\ \mathrm V,V_{OL}=-4.40\ \mathrm V\)，则

\[ V_{TH}=+1.05\ \mathrm V,\qquad V_{TL}=-1.10\ \mathrm V,\qquad V_H=2.15\ \mathrm V. \]

从高输出开始，\(v_i\) 上升穿过 \(+1.05\ \mathrm V\) 后输出转低；此时阈值立即移到 \(-1.10\ \mathrm V\)。输入即使在 \(+1.05\ \mathrm V\) 附近有小于 \(2.15\ \mathrm V\) 峰峰值的局部噪声，也不会仅因回落一点就立刻翻回；必须一路降过 \(-1.10\ \mathrm V\)。

输入上穿上阈值时输出从高翻为低，输入下穿下阈值时输出从低翻为高；两阈值之间保持历史状态并抑制小噪声翻转。

图 5-27　反相施密特触发器的双阈值波形。 上穿上阈值使输出变低，下穿下阈值使输出变高，方向由本节指定拓扑决定。

输入上升时沿高电平支路向右并在VTH下跳，输入下降时沿低电平支路向左并在VTL上跳；两阈值间输出取决于历史。

图 5-28　反相施密特的滞回传输。 高、低水平支路在 \(V_{TL}\) 与 \(V_{TH}\) 间重叠：输入下降沿低支路向左并在 \(V_{TL}\) 上跳，输入上升沿高支路向右并在 \(V_{TH}\) 下跳；区间内输出取决于先前状态。

失败模式：把 \(R_1,R_2\) 的分压系数写反；忘记 \(V_{ref}\) 项；用对称 \(\pm V_{sat}\) 代替实际不对称输出；把正反馈误当负反馈并使用虚短；或只给两个阈值而不说明输出历史和越过方向。

第二遍：适用边界

静态阈值式假设输入电流可忽略、输出电平已知且切换很快。偏置电流、源阻、输出负载、失调、传播延迟与输出恢复会移动实际阈值或边沿。滞回提高噪声容限，但噪声幅度若足以跨越另一阈值，仍会翻转。

30 秒回答

“本例是反相施密特：输入接负端，输出经 \(R_1\) 正反馈到正端，\(R_2\) 把正端接参考。分压得 \(v_+=\beta v_o+(1-\beta)V_{ref}\)，\(\beta=R_2/(R_1+R_2)\)。所以 \(V_{TH}\) 用当前高输出 \(V_{OH}\)，\(V_{TL}\) 用当前低输出 \(V_{OL}\)；中间区保持历史状态，不能用虚短。”

第二遍：90 秒回答

“先明确连接，否则阈值符号没有意义。输出通过 \(R_1\) 到同相端，\(R_2\) 再到 \(V_{ref}\)，故输出扰动会强化自身，是正反馈。输入电流近零允许对同相节点分压，但正反馈不允许虚短。输出高时，同相端阈值是 \(\beta V_{OH}+(1-\beta)V_{ref}\)，输入上穿它使输出翻低；输出低时阈值变为 \(\beta V_{OL}+(1-\beta)V_{ref}\)，输入下穿它才翻高。两者差 \(\beta(V_{OH}-V_{OL})\) 是抗噪滞回宽度，且天然允许上下饱和不对称。”

本节练习与递进追问

  1. 按图 5-26，\(R_1=18\ \mathrm{k\Omega},R_2=12\ \mathrm{k\Omega},V_{ref}=0.50\ \mathrm V,V_{OH}=4.0\ \mathrm V,V_{OL}=-3.5\ \mathrm V\)；写上下阈值、滞回宽度和两个翻转方向。
  2. 追问一：为何中间区必须知道历史状态？追问二：若只把 \(R_2\) 增大，\(\beta\) 与噪声容限怎样变化，同时会带来什么输入范围代价？

12. P1 第二遍：非理想总览——公式后必须过的器件检查

进入本 P1 小节：不背参数表，只走检查顺序

每次得到理想候选解后，依次查输入共模、输出摆幅、输出电流、增益/带宽和压摆率。进入第二遍时先能指出“哪个限制最先使候选解失效”，再学习精确器件模型。

12.1 假设、统一模型与趋势

在闭环静态小信号范围，可把主要误差暂写入

\[ v_o=A(s)\,[v_+-v_-+V_{OS}], \]

其中 \(V_{OS}\) 是按该符号约定折算到输入端的失调电压，\(A(s)\) 是随频率变化的开环增益。输入端另有偏置电流 \(I_{B+},I_{B-}\)；输出端另受摆幅、电流与动态限制。这是误差预算入口，不是一只具体器件的完整宏模型。

以反馈因子 \(\beta\) 的同相结构为例，反馈节点 KCL 给出 \(v_-=\beta v_o\)，代入上式：

\[ v_o=A(s)[v_i-\beta v_o+V_{OS}], \]

所以

\[ v_o=\frac{A(s)}{1+A(s)\beta}v_i +\frac{A(s)}{1+A(s)\beta}V_{OS}. \]

当 \(|A\beta|\gg1\)，信号增益趋近 \(1/\beta\)，输出失调趋近 \(V_{OS}/\beta\)，即失调被噪声增益放大。这同时给出了变量、KCL、求解和有限 \(A\) 极限；单位为 V。

非理想 冲刺轨要会的方向/检查 常见失败表现
有限直流开环增益 \(A_0\) \(A_0\) 越小，\(v_d=v_o/A_0\) 越大，闭环增益幅值通常更低；高噪声增益更敏感 精密增益低于电阻比理想值
GBW 与单极点 一阶近似 \(A(s)=A_0/(1+s/\omega_p)\)，GBW \(\approx A_0f_p\)；闭环带宽约 GBW/噪声增益 高频增益下降、相位滞后；更完整分析留第 6 章
压摆率 SR 大信号正弦需 \(2\pi fV_p\le SR\)；增大 \(f\) 或 \(V_p\) 更易失败 正弦变斜边/近三角波，阶跃边沿受限
输入失调 \(V_{OS}\) 输出误差约为噪声增益乘 \(V_{OS}\)；积分器会积累等效 DC 零输入却有非零输出或缓慢漂移
输入偏置电流 \(I_B\) 流过源/反馈等效电阻产生压降；两端戴维南电阻匹配可抵消“相等部分” 高阻电路 DC 误差变大，差值电流仍留下误差
CMRR CMRR 越低，共模到输出的误差越大；频率升高通常变差 差分很小、共模很大时输出偏移
输入共模范围 两输入电压都要落在允许区间；与差分小不矛盾 增益异常、失真，某些器件可能出现相位反转；须查手册
输出摆幅 负载越重通常越难接近电源轨；轨到轨也有条件 顶部/底部削顶，虚短失效
输出电流/短路 同时计算负载和反馈支路；限流后电压公式失效 幅度塌陷、发热；短路能力有时间/温度条件，绝非正常工作点
饱和与电源轨恢复 深饱和后回到线性区需要恢复时间；越深/器件越慢常越明显 比较后迟迟不回线性、脉冲宽度/边沿异常

12.2 偏置电流的 KCL 方向例子

在反相放大器中，若 \(v_+\) 直接接地而 \(v_-\) 看到的戴维南电阻约为 \(R_{in}\parallel R_f\)，相等的输入偏置电流会在两端产生不同压降。常在 \(v_+\) 与地之间加入

\[ R_b\approx R_{in}\parallel R_f \]

以匹配两端 DC 电阻。对 \(v_+\) 节点，若 \(I_{B+}\) 定义为流入引脚，KCL 给 \(v_+/R_b+I_{B+}=0\)，故 \(v_+=-I_{B+}R_b\)；反相侧有对应压降。这个办法只抵消偏置电流相等的部分，不能消除输入失调电流 \(I_{B+}-I_{B-}\)、电阻误差或 \(V_{OS}\)。

理想闭环公式成立前必须同时检查输入范围、开环动态、稳定性、输出摆幅、电流、压摆率和负载。

图 5-29　从输入、开环到输出的非理想检查链。 静态轨内不代表动态合格，差分很小也不代表共模合格。

12.3 单极点只给方向，细节留到下一章

若低频 \(A_0=10^5\)、主极点 \(f_p=10\ \mathrm{Hz}\)，则 GBW 约 \(1.0\ \mathrm{MHz}\)。噪声增益为 10 的闭环电路一阶带宽约 \(100\ \mathrm{kHz}\)；噪声增益为 100 时约 \(10\ \mathrm{kHz}\)。这个估计说明“闭环增益越高，带宽通常越窄”的方向，但真实运放可能有额外极点/零点、去补偿要求和负载相关稳定性，不能仅用 GBW 判断相位裕度。完整推导在第 6 章。

常见失败是把小信号带宽和大信号 SR 混为一项：一个 \(1\ \mathrm{kHz}\) 大幅正弦可能因 SR 失真，即使小信号增益尚未下降；一个高频小幅信号也可能先受闭环带宽影响，而未达到 SR。

第二遍：适用边界

表中趋势不能替代具体数据手册。必须在指定电源、温度、负载、输出幅度和频率下读取参数；“典型值”不等于保证值。单极点只作本章接口，稳定性与完整频响统一留待下一章。

30 秒回答

“理想电阻比只是候选解。静态先查有限 \(A\)、失调、偏置、CMRR、共模范围、输出摆幅与电流；动态再查 GBW、压摆率、负载稳定性和饱和恢复。有限 \(A\) 使闭环增益略低，失调常被噪声增益放大；大信号 \(2\pi fV_p\) 超过 SR 时，即使没碰轨也会失真。”

第二遍：90 秒回答

“我把误差分三层。输入层有 \(V_{OS},I_B\)、CMRR 和共模/差模范围；开环层有有限 \(A_0\)、随频率下降的 \(A(j\omega)\) 与相位；输出层有摆幅、电流、SR、负载稳定性和饱和恢复。以反馈因子 \(\beta\) 为例，\(v_o=A(v_i-\beta v_o+V_{OS})\)，解得信号闭环增益 \(A/(1+A\beta)\)，而输入失调到输出也乘这个量，环路增益很大时约为噪声增益 \(1/\beta\)。GBW/噪声增益只是一阶带宽方向，SR 是另一种大信号限制。所有参数都要回到具体供电、负载、温度和保证条件。”

本节练习与递进追问

  1. 同相放大器噪声增益为 21，\(A_0=2.0\times10^5\)、GBW \(=2.1\ \mathrm{MHz}\)、\(V_{OS}=80\ \mu\mathrm V\)；写有限 \(A\) 的增益趋势、输出失调估计和一阶带宽估计，并注明三者模型边界。
  2. 追问一：输出在电源轨内，为何仍可能失真？追问二：匹配两输入端戴维南电阻为何不能消除失调电压和输入失调电流？

13. 面试主线：结论—理由—边界

13.1 七个高频主题的最短证据链

主题 先说结论 必须跟上的理由 最容易漏的边界
开环饱和 开环通常输出高/低限 \(v_o=Av_d\) 且 \(A\) 很大 输入/输出极限与饱和恢复
虚断/虚短条件 两者来源不同 高 \(R_{in}\)；有限 \(v_o/A\) 加负反馈 正反馈、开环、饱和、高频、SR、限流
反相/同相推导 用 KCL，不只背电阻比 先判负反馈，再写求和点或分压点 轨、共模、电流、GBW、SR
积分器漂移 DC 小误差也会积到轨 \(dv_o/dt=-v_i/(RC)\) 且有初值 并联 \(R_f\)、复位与漏电
微分器噪声 高频噪声被增强 \(v_o=-R_fC\,dv_i/dt\) \(R_{in}\)、\(C_f\) 限带与稳定性
比较器 vs 线性运放 比较器开环判符号，线性运放闭环定比例 工作状态和优化目标不同 不用虚短；输出接口/传播延迟
滞回 双阈值提高噪声容限 正反馈让阈值随输出状态改变 拓扑、越过方向、非对称输出

30 秒回答

“运放面试题我先写 \(v_d=v_+-v_-\) 和 \(v_o=Av_d\)，再判断反馈方向与输出状态。虚断来自高输入阻，虚短只在高环路增益、负反馈、线性未饱和时成立。之后用 KCL 求候选闭环解，最后逐项检查电源轨、共模、输出电流、GBW 和 SR；比较器或施密特是开环/正反馈状态，绝不套虚短。”

第二遍：90 秒回答

“运放是由电源供能的差分受控器件。开环增益巨大，所以开环输入只差很小就会饱和；负反馈则把输出变化送回去减小 \(v_d\)。高输入电阻推出虚断，高增益且输出有限推出 \(v_d=v_o/A\) 很小，但还要先验证线性状态。反相、同相、求和与差分都可在关键节点用 KCL 推导；积分器必须保留电容初值并处理 DC 漂移，微分器必须限带以免放大噪声。比较器按差分符号输出高低，施密特用正反馈得到随状态变化的双阈值。任何理想结果都要再查有限 \(A\)、失调/偏置、CMRR、共模、轨、电流、GBW、SR 与恢复时间。”

第二遍：适用边界

口述模板用于组织答案，不取代读图。若拓扑、电阻编号、输出级类型、供电、负载或初始状态改变，必须重新列节点方程和状态条件。频率响应的相位裕度与稳定性细节统一留到下一章。

递进追问

  1. 如果面试官说“有负反馈就一定虚短”，你会用哪三个反例反驳，并分别指出失败的物理限制？
  2. 同一运放电路的小信号带宽合格，为何大幅正弦仍可能变成三角形？若输出先撞轨，判断顺序又怎样？
  3. 差分器输出异常时，怎样区分电阻比失配、有限 CMRR 与输入共模越界？

14. 章末检查清单与错误对照

14.1 每道题的闭环检查清单

  • 画出 \(+V_{CC},-V_{EE}\)、地、负载和全部电流返回；标清 \(v_+,v_-,v_o\)。
  • 写 \(v_d=v_+-v_-\)，用输出微扰判断反馈是负、正还是开环。
  • 说明采用理想、有限 \(A\)、饱和还是动态模型；比较器/正反馈不使用虚短。
  • 在关键节点写 KCL，必要时写电源/输出回路 KVL；先求候选解再代数验算。
  • 核对单位、极性、相位、时间常数和电容初值；电阻比增益应无量纲。
  • 查输出 \(V_{OL}\le v_o\le V_{OH}\)、输入共模、输出负载与反馈电流。
  • 对动态信号再查 GBW/噪声增益、\(2\pi fV_p\le SR\)、稳定性与恢复时间。
  • 最后说一句适用边界；若任一检查失败，撤销虚短并改用限幅/动态状态分析。
常见错误 为什么错 修正动作
一见运放就写 \(v_+=v_-\) 未判断反馈与状态 先做输出微扰，再验候选解是否线性
把虚短画成导线 虚短只是小差分电压 保留两个节点和近零输入电流
认为输入端给负载供能 运放是有源器件 画出电源轨、输出级和负载返回
开环也按电阻比算线性输出 巨大 \(A\) 通常使输出饱和 用差分符号与 \(V_{OH},V_{OL}\) 判状态
反相增益漏负号 参考方向或 KCL 电流方向混乱 统一对地电压并在求和点列 KCL
同相增益写成 \(R_f/R_g\) 漏掉分压反解的 1 先写 \(v_-=v_oR_g/(R_f+R_g)\)
差分器只看电阻数值相等 所需的是两边比值匹配 逐项验证 \(R_2/R_1=R_4/R_3\)
积分器漏 \(v_o(t_0)\) 电容电压连续、有记忆 定义电容极性并写完整定积分
微分器直接输入理想阶跃 理想导数要求冲激输出 承认带限，并加入 \(R_{in},C_f\)
施密特上下阈值用同一输出电平 阈值随当前状态改变 上阈代 \(V_{OH}\)，下阈代 \(V_{OL}\)
轨内就宣布“完全线性” 还可能共模、限流、SR 或带宽失败 按清单完成全部静态/动态检查
把 GBW 与 SR 当同一参数 前者偏小信号频响，后者是大信号斜率 分别算闭环带宽与 \(2\pi fV_p\)

15. 章末练习：使用带图题库

本章题面统一放在练习题 O-01～O-14。所有依赖连接方式的运放题已就地附图；状态与模型审判题不用无关示意图代替推理。

作答顺序

先判反馈极性与线性候选状态，再决定能否用虚断/虚短，然后列 KCL，最后检查轨、共模、电流、GBW 和 SR。独立完成后再打开详细解答 O-01～O-14。

能解释虚短何时失效后，再进入第 6 章。